2000-新课标理-14 填-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查椭圆的几何性质及焦点三角形。核心意图在于测试学生将“角为钝角”这一几何条件转化为代数不等式（如向量数量积小于零或余弦值小于零）的能力，并结合椭圆方程求解动点横坐标的取值范围。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的焦点 $F_1、F_2$，点 $P$ 为其上的动点，当 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定椭圆基本几何量：从标准方程中求出 $a^2,b^2$ 以及半焦距 $c^2=a^2-b^2$，写出焦点 $F_1,F_2$ 的坐标。
2. 转化钝角条件：

• 方法一（向量法）：设 $P(x,y)$， $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角等价于 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$ 且三个点不共线。
• 方法二（几何临界圆法）：以焦距 $F_1{F}_2$ 为直径作圆，圆内部的点对 $F_1,F_2$ 的张角为钝角，圆外部为锐角，圆上为直角。因此，张角为钝角等价于点 $P$ 落在以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆的内部。

3. 联立不等式求解：结合点 $P$ 在椭圆上满足的方程 $y^2=4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)$，消去 $y$ 变量，转化为关于横坐标 $x$ 的一元二次不等式求解。

✅【答案】

Success

$\left(-\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求椭圆的特征参数与焦点坐标 由椭圆方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 可知： $a^2=9,b^2=4$ 根据关系式 $c^2=a^2-b^2$ 得： $c^2=9-4=5⟹c=\sqrt{5}$ 所以焦点坐标为 $F_1(-\sqrt{5},0)$， $F_2(\sqrt{5},0)$。

方法一：利用向量数量积求解（通用代数法） 设椭圆上动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，其中 $x\in [-3,3]$。 写出向量 $\overrightarrow{P{F}_1}$ 与 $\overrightarrow{P{F}_2}$ 的坐标表示： $\overrightarrow{P{F}_1}=(-\sqrt{5}-x,-y),\overrightarrow{P{F}_2}=(\sqrt{5}-x,-y)$

因为 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角，所以这两个向量的夹角为钝角，其数量积必须严格小于 0（且点 $P$ 不能在 $x$ 轴上以防共线，由于在长轴端点时张角为 $0^{\circ }$，非钝角，此边界会自动被不等式排除）： $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}<0$ $(-\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}-x)+(-y)(-y)<0$ $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})+y^2<0$ $x^2-5+y^2<0⟹x^2+y^2<5\text{(1)}$

因为点 $P(x,y)$ 在椭圆上，满足 $y^2=4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)$，代入不公式 ① 中消去 $y^2$： $x^2+4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)<5$ $x^2+4-\frac{4}{9}{x}^2<5$ $\frac{5}{9}{x}^2<1⟹x^2<\frac{9}{5}$

两边开平方根，解得 $x$ 的取值范围为： $-\frac{3}{\sqrt{5}}<x<\frac{3}{\sqrt{5}}⟹-\frac{3\sqrt{5}}{5}<x<\frac{3\sqrt{5}}{5}$

方法二：利用临界圆性质求解（直观几何法） 在平面几何中，以线段 $F_1{F}_2$ 为直径的圆的方程为： $x^2+y^2=c^2⟹x^2+y^2=5$

• 若点 $P$ 在该圆上，则 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$；

• 若点 $P$ 在该圆外部，则 $\angle F_{1}P{F}_2<90^{\circ }$（锐角）；

• 若点 $P$ 在该圆内部，则 $\angle F_{1}P{F}_2>90^{\circ }$（钝角）。

因此， $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角等价于点 $P(x,y)$ 落在圆 $x^2+y^2=5$ 的内部，即： $x^2+y^2<5$ 以下代入化简步骤同方法一，得出： $x\in \left(-\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$

答案： $\left(-\frac{3\sqrt{5}}{5},\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$ （或写成 $\left(-\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量夹角与数量积的符号映射关系；以焦距为直径的圆与焦点三角形最大张角的关系。
2. 核心方法：“临界圆法”。通过将角度的分类转化为点与圆的位置关系，可以极大地精简解析几何中的运算量。
3. 避坑指南：

• 取等边界陷阱：本题要求为“钝角”，不包含直角，因此不等式必须是严格的单向小于号（$<$），对应最终取值区间必须是开区间，误带等号形成闭区间将导致失分。
• 大角在短轴端点取得性质：椭圆上各点对两焦点所成的张角 $\angle F_{1}P{F}_2$，在短轴端点 $(0,\pm b)$ 处取得最大值。本题中最大张角的正切值满足 $\tan \frac{{\theta }_{\text{max}}}{2}=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{5}}{2}>1⟹{\theta }_{\text{max}}>90^{\circ }$，说明该椭圆上确实存在使张角为钝角的点。若 $\frac{c}{b}\le 1$，则该取值范围直接为空集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆锥曲线基本特征量与向量交汇的综合应用，属于经典的“焦点张角范围问题”，直接取材于高中数学教材中“椭圆的几何性质”章末拓展提高题。
2. 结论推广： 对于任意标准长轴在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，存在使焦点张角 $\angle F_{1}P{F}_2$ 为钝角的点 $P$ 的充要不变量边界模型：

• 存在性判别式： $c>b⟹a^2>2b^2$ （即离心率 $e>\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
• 在存在的前提下，横坐标 $x$ 的几何限界域恒为： $|x|<\frac{a\sqrt{b^2-c^2\text{ 的相反数结构}}}{⟹}|x|<\frac{a}{c}\sqrt{c^2-b^2}$ 代入本题参数 $a=3,b=2,c=\sqrt{5}$： $|x|<\frac{3}{\sqrt{5}}\sqrt{5-4}=\frac{3}{\sqrt{5}}$ 熟记此通用限界公式，在应对任何此类含有未知参变量的压轴填空题时均能快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量