2000-新课标理-12 单-旋转体的概念与结构

本题导读

本题考查旋转体的结构及体积计算。核心意图在于测试学生将空间图形的旋转运动转化为平面轴截面几何关系的能力，通过分析 $OA$ 绕轴旋转所得双锥体面（或锥面）分割圆锥的体积比例，建立关于母线与轴夹角的三角函数方程。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 如图， $OA$ 是圆锥底面中心 $O$ 到母线的垂线， $OA$ 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为()

A. $\arccos \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$　　　　　　B. $\arccos \frac{1}{2}$　　　　　　C. $\arccos \frac{1}{\sqrt{2}}$　　　　　　D. $\arccos \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先弄清旋转出的曲面是什么：$O$ 在轴上不动，$A$ 绕轴画圆，所以 $OA$ 扫出的是以 $O$ 为顶点、以 $A$ 的轨迹圆为底的锥面。
2. 这个锥面切出两块：锥面内部（含轴）是「以 $A$ 处截面圆为共同底面、顶点分别为 $V$ 和 $O$ 的两个圆锥」拼成的双锥体；锥面外部是剩下一块。两块体积相等，就得到体积比方程。
3. 把各线段用 $\alpha$ 表示：设母线与轴夹角为 $\alpha$、高 $VO=h$，在 $\mathrm{Rt}△VOB$ 与 $\mathrm{Rt}△VOA$ 中把 $R$、$OA$、$VA$ 都化成 $h$ 与 $\alpha$ 的式子，代入体积公式约分即可。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥顶点为 $V$，底面中心为 $O$，底面半径 $OB=R$，高 $VO=h$，母线与轴的夹角 $\angle OVB=\alpha$。在 $\mathrm{Rt}△VOB$ 中 R=h\tan\alpha\tag{1}

第一步：定出 $A$ 的位置

由 $OA\perp VB$，知 $\angle VAO=90^{\circ }=\angle VOB$，又 $\angle AVO$ 为公共角，故 $△VOA\sim △VBO$，于是 $OA=h\sin \alpha ,VA=h\cos \alpha$ 再过 $A$ 作 $AC\perp VO$ 于 $C$，在 $\mathrm{Rt}△VAC$ 中 $\angle AVC=\alpha$，得 $AC=VA\sin \alpha =h\sin \alpha \cos \alpha ,VC=VA\cos \alpha =h{\cos }^2\alpha$ 故 $OC=h-VC=h{\sin }^2\alpha$

第二步：看清旋转面切出的两块

$OA$ 绕轴 $VO$ 旋转时，点 $O$ 在轴上不动、点 $A$ 画出一个以 $C$ 为圆心、$AC$ 为半径的圆，所以扫出的曲面是以 $O$ 为顶点、半顶角为 $90^{\circ }-\alpha$ 的锥面。

这个锥面与圆锥侧面恰好相交于 $A$ 所在的圆周：在 $A$ 处锥面半径 $AC=h\sin \alpha \cos \alpha$，而圆锥在该高度处的半径 $R\left(1-\frac{OC}{h}\right)=h\tan \alpha \cdot {\cos }^2\alpha =h\sin \alpha \cos \alpha$，两者相等；在 $A$ 之上锥面张得比圆锥更快，整片都落在圆锥内部。

因此锥面内部（含轴）那部分是：以 $A$ 处圆为公共底面、顶点分别为 $V$ 与 $O$ 的两个圆锥拼成的双锥体，其体积为 $V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot A{C}^2\cdot VC+\frac{1}{3}\pi \cdot A{C}^2\cdot OC=\frac{1}{3}\pi A{C}^2\cdot VO=\frac{1}{3}\pi h^3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$

而整个圆锥的体积为 $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi h^3{\tan }^2\alpha =\frac{1}{3}\pi h^3\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

第三步：由「体积相等」列方程

$V_1=\frac{1}{2}V⟹\frac{1}{3}\pi h^3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\pi h^3\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$ 约去 $\frac{1}{3}\pi h^3{\sin }^2\alpha$（$\sin \alpha >0$）得 ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{2{\cos }^2\alpha }⟹{\cos }^4\alpha =\frac{1}{2}$ 故 $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 即 $\alpha =\arccos \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

故选 D。

检验：取 $\alpha =\arccos 2^{-\frac{1}{4}}$，则 ${\cos }^2\alpha =2^{-\frac{1}{2}}$、${\sin }^2\alpha =1-2^{-\frac{1}{2}}$，代入得 $V_1/V={\cos }^4\alpha =\frac{1}{2}$，恰为一半。

易错点：若把旋转面误当成「过 $A$ 的水平截面」，相似比就成了 $\frac{VC}{VO}={\cos }^2\alpha$，体积比为 ${\cos }^6\alpha$，解出 $\cos \alpha =2^{-\frac{1}{6}}$，与四个选项都不符；选项 A 对应的是 ${\cos }^3\alpha =\frac{1}{2}$（即相似比直接取 $\cos \alpha$），B、C 分别对应 $\alpha =60^{\circ }$ 与 $45^{\circ }$，代入检验都不满足体积相等。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：旋转体纵切轴截面的相似三角形性质；相似体体积比等于相似比的立方。
2. 核心方法：截面相似比代换法。
3. 避坑指南：容易将相似比误记为 $\cos \alpha$，从而漏掉平方关系。必须通过直角三角形边长两步投影（ $V\to O\to A$ ）严格求出新旧母线长度的真实比例。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于旋转体体积分割的综合压轴选择题，取材于高中立体几何“旋转体与特殊截面”章节的拉分拔高题。
2. 结论推广：对于任意满足垂线分割体积比为 $1:\lambda$ 的圆锥模型，其母线与轴夹角的余弦值由其几何相似比的幂次方程完备确定。这类空间曲面分割模型在工业流体力学喷嘴腔体容积设计中具有重要的解析优化应用价值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-13 填-旋转体的体积
• 1987-全国文-15 填-圆锥的体积
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积