2000-新课标理-11 单-抛物线的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查抛物线焦点弦的几何性质。核心意图在于测试学生利用抛物线定义、焦半径公式推导焦点弦分段倒数和不变量的能力，要求能够熟练进行几何关系的代数化简。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 过抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$ 的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P、Q$ 两点，若线段 $PF$ 与 $FQ$ 的长分别是 $p、q$，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 等于()

A. $2a$　　　　　　B. $\frac{1}{2a}$　　　　　　C. $4a$　　　　　　D. $\frac{4a}{a}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一抛物线标准形式：将已知抛物线方程 $y=a{x}^2$ 转化为焦点在 $y$ 轴正半轴的标准形式 $x^2=\frac{1}{a}y$，从而准确求出焦点 $F$ 的坐标以及准线方程。
2. 方法一：特殊位置法：由于题目中未限制过焦点直线的斜率，说明倒数和 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 是一个与直线斜率无关的定值。可取最特殊的垂直于对称轴的通径直线进行计算，此时 $p=q=\text{半通径长}$。
3. 方法二：代数推导通法：利用抛物线定义，将焦半径 $p,q$ 转化为切点到准线的距离，结合设而不求的弦长结构或极坐标方程公式求得最终结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求抛物线的标准几何特征 已知抛物线方程为 $y=a{x}^2(a>0)$。 将其变形为标准方程形式： $x^2=\frac{1}{a}y$

对照标准模型 $x^2=2py$（此处标准参数记为 $p_0$ 避免与题干字母冲突），可得： $2p_0=\frac{1}{a}⟹p_0=\frac{1}{2a}$

• 焦点 $F$ 的坐标为 $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$；

• 准线方程为 $y=-\frac{1}{4a}$；

• 通径长（过焦点且垂直于 $y$ 轴的弦长）为 $2p_0=\frac{1}{a}$。

方法一：特殊位置法 由于该倒数和为一个定值，不妨设过焦点 $F$ 的直线平行于 $x$ 轴（即垂直于抛物线的对称轴 $y$ 轴）。 此时，弦 $PQ$ 即为该抛物线的通径。 根据抛物线的对称性，焦点 $F$ 为通径 $PQ$ 的中点，因此： $p=q=\frac{1}{2}\times \text{通径长}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{a}=\frac{1}{2a}$

代入所求的倒数和表达式中： $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\frac{1}{2a}}+\frac{1}{\frac{1}{2a}}=2a+2a=4a$

比对选项，该结果与 C 选项完全一致。

方法二：代数解析法（严谨通法） 设直线的倾斜角为 $\theta$。以焦点 $F$ 为极点， $y$ 轴正方向为极轴建立极坐标系。 根据抛物线的极坐标方程，焦半径公式可表示为： $\rho =\frac{p_0}{1-\cos \theta }$ （其中 $p_0=\frac{1}{2a}$ 为焦点到准线的距离）

设点 $P$ 对应的极角为 $\theta$，则点 $Q$ 对应的极角为 $\theta +\pi$。 两段焦半径长 $p$ 和 $q$ 分别为： $p=\frac{\frac{1}{2a}}{1-\cos \theta }$ $q=\frac{\frac{1}{2a}}{1-\cos (\theta +\pi )}=\frac{\frac{1}{2a}}{1+\cos \theta }$

对其分别求倒数并相加： $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1-\cos \theta }{\frac{1}{2a}}+\frac{1+\cos \theta }{\frac{1}{2a}}$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{(1-\cos \theta )+(1+\cos \theta )}{\frac{1}{2a}}=\frac{2}{\frac{1}{2a}}=4a$

答案： C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：非标准抛物线方程的转化；焦点弦的倒数和不变量几何性质。
2. 核心方法：“特殊通径法”。选择题中处理圆锥曲线不变量问题时，通过将直线旋转至平行或垂直对称轴的特殊方位，能省去大量的联立方程消元过程。
3. 避坑指南：

• 开口方向错位陷阱：本题容易将 $y=a{x}^2$ 误认为是主轴在 $x$ 轴上的抛物线，导致焦点坐标和通径公式套错。必须明确 $x$ 二次方代表开口向上或向下。
• 字母冲突混淆陷阱：本题题干中的线段长使用了 $p,q$，这与教科书中抛物线标准方程 $y^2=2px$ 中的参数 $p$ 产生了字母重叠。在推导过程中，应主动引入新符号（如 $p_0$）进行隔离，避免代入时张冠李戴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查解析几何经典曲线的定值性质，取材于高中数学“圆锥曲线与方程”章节中关于“抛物线几何性质”的课后探究思考题。
2. 结论推广： 焦点弦的倒数和性质是所有圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）普适的核心几何不变量。 对于任意圆锥曲线，以焦点为极点建立极坐标系，焦点弦两段 $p,q$ 的倒数和恒为常数： $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{e\cdot p_{\text{准}}}$ 在抛物线中，离心率 $e=1$，因此 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{p_0}=\frac{2}{\text{半通径}}$。这一性质在航天轨道力学中被广泛用于计算各类天体在近地点与远地点的能量不变量守恒约束。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1983-全国文-02 单-抛物线的焦点位置
• 1986-上海文-20 单-抛物线焦点弦的射影