2000-新课标理-09 单-几何体的表面积与体积

本题导读

本题考查圆柱几何量之间的比例计算。核心意图在于测试学生对“圆柱侧面展开图是正方形”这一特殊几何边界条件的代数转化，要求能够建立圆柱底面半径与高的等量关系，进而准确求出全面积与侧面积的比值。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()

A. $\frac{1+2\pi }{2\pi }$　　　　B. $\frac{1+4\pi }{4\pi }$　　　　C. $\frac{1+2\pi }{\pi }$　　　　D. $\frac{1+4\pi }{2\pi }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何条件转化：设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$。圆柱的侧面展开图为一个矩形，其长为底面圆的周长 $2\pi r$，宽为圆柱的高 $h$。由展开图是“正方形”可知：长等于宽，即 $2\pi r=h$。
2. 写出核心面积公式：

• 侧面积：$S_{\text{侧}}=2\pi rh$
• 全面积：$S_{\text{全}}=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=2\pi rh+2\pi r^2$

3. 代入消参求比值：将 $h=2\pi r$ 代入上述公式中，完全消去变量 $h$（或 $r$），化简分式求得比值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据正方形条件确立半径与高的关系 设圆柱底面圆的半径为 $r$，高为 $h$。 圆柱的侧面展开图展开后，其横向长边为底面圆的周长 $2\pi r$，纵向短边为圆柱的高 $h$。 因为侧面展开图是一个正方形，所以长与宽相等，可得关系式： $h=2\pi r\text{(1)}$

第二步：分别表示侧面积与全面积

1. 侧面积 $S_{\text{侧}}$： $S_{\text{侧}}=2\pi rh$ 将 ① 式 $h=2\pi r$ 代入： $S_{\text{侧}}=2\pi r\cdot (2\pi r)=4{\pi }^2{r}^2$

2. 全面积 $S_{\text{全}}$： 全面积由侧面积加上上、下两个底面圆的面积构成： $S_{\text{全}}=S_{\text{侧}}+2\cdot (\pi r^2)=4{\pi }^2{r}^2+2\pi r^2=2\pi r^2(2\pi +1)$

第三步：计算全面积与侧面积的比值 列出比值分式，并约去非零公共因子 $2\pi r^2$： $\frac{S_{\text{全}}}{S_{\text{侧}}}=\frac{2\pi r^2(2\pi +1)}{4{\pi }^2{r}^2}=\frac{2\pi +1}{2\pi }=\frac{1+2\pi }{2\pi }$

比对四个选项，该结果与 A 选项完全一致。

答案： A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱侧面展开图的几何映射规律；圆柱全面积与侧面积的关系。
2. 核心方法：结构参数统一化消元法。
3. 避坑指南：

• 全面积定义遗漏陷阱：部分学生容易将全面积错记为“侧面积 + 一个底面积”，导致分母少算一个 $\pi r^2$。必须明确全面积（表面积）必须包含空间几何体的所有外露封闭表面（圆柱有两个底面）。
• 展开图边长关系错位：误将正方形的边长关系记为 $r=h$，忽略了侧面水平方向的拉伸长是由底面圆的周长 $2\pi r$ 决定的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的多面体与旋转体度量计算题，取材于高中立体几何教材中“圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积”章节后的标准性质巩固练习题。
2. 结论推广：对于任意一个侧面展开图为矩形且长宽比为 $\lambda$ 的广义圆柱体（即满足 $2\pi r=\lambda h$），其对应的全面积与侧面积的比值存在固定的一维几何不变量模型： $\frac{S_{\text{全}}}{S_{\text{侧}}}=1+\frac{\lambda }{\pi }$ 将本题中正方形对应的 $\lambda =1$ 直接代入该模型，可得 $1+\frac{1}{2\pi }=\frac{2\pi +1}{2\pi }$，在考场上可实现 3 秒内直接出纸面结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-08 单-阿氏圆轨迹面积
• 1984-全国文-07 填-圆柱的侧面展开图
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比