2000-新课标理-05 单-函数的奇偶性

本题导读

本题考查混合初等函数的图象识别。先利用函数的奇偶性判断图象的对称性，再利用特殊区间内函数值的符号，在四个选项中选出符合要求的图象。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 函数 $y=-x\cos x$ 的部分图象是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定函数的奇偶性：利用奇偶性定义计算 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。根据图象的对称规律（奇函数关于原点对称，偶函数关于 $y$ 轴对称）排除不符合的选项。
2. 判断符号：任取一靠近原点的特殊区间（如 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$），判定该区间内函数值 $y$ 的正负，通过图象在相应象限的分布锁定正确答案。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析函数的奇偶性 令 $f(x)=-x\cos x$。其定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。 计算 $f(-x)$： $f(-x)=-(-x)\cos (-x)$ 根据余弦函数的偶函数性质（$\cos (-x)=\cos x$）化简： $f(-x)=x\cos x=-(-x\cos x)=-f(x)$

因为 $f(-x)=-f(x)$，所以函数 $y=-x\cos x$ 是奇函数。 根据奇函数的几何性质，其图象关于原点成中心对称。

• A 选项图象关于 $y$ 轴对称（偶函数图象），排除；

• C 选项图象关于 $y$ 轴对称（偶函数图象），排除；

• B 和 D 选项图象关于原点对称，保留。

第二步：利用特殊值符号确定象限 取近原点右侧的开区间 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。 在此区间内：

• 自变量 $x>0$；
• 余弦值 $\cos x>0$。

代入函数解析式中判定此时 $y$ 的符号： $y=-x\cos x=-(\text{正数})\times (\text{正数})<0$

这说明，当 $x$ 从右侧趋近于 0（即在原点右侧附近）时，函数图象应位于 $x$ 轴的下方（即第四象限）。

• 观察 B 选项：在 $y$ 轴右侧附近，图象位于 $x$ 轴上方（第一象限），不符；
• 观察 D 选项：在 $y$ 轴右侧附近，图象位于 $x$ 轴下方（第四象限），符合。

答案： D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数关于原点对称；三角函数在第一象限的符号。
2. 核心方法：“先看对称，再看符号”。这是处理函数图象选择题的常用步骤。
3. 避坑指南：在求出 $f(-x)=x\cos x$ 时，容易忽略最前方的负号，误以为 $f(-x)=f(x)$ 从而错选 A 或 C。对于复合结构，每一步符号变化都要写出括号进行化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的函数图象辨析题，取材于高中数学“函数的基本性质”与“三角函数的图象”章节的巩固训练题。
2. 结论推广：对于形如 $y=x^n\cos x$ 或 $y=x^n\sin x$ 的函数：

• 当 $n$ 为奇数时，由于“奇 $\times$ 偶 = 奇”，函数关于原点对称；
• 当 $n$ 为偶数时，由于“偶 $\times$ 偶 = 偶”，函数关于 $y$ 轴对称。 其图象夹在 $y=\pm x^n$ 之间。掌握这一规律，可快速判断此类函数图象题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性