2000-广东卷理-06 单-分段函数模型的应用

本题导读

本题考查分段函数在实际经济生活中的应用，即累进税率的计算。解题的关键是理解“全月应纳税所得额”的定义以及“分段累进”的计算规则。首先需要计算出各个税段的最高税额，以确定该纳税人的应纳税所得额落在哪个区间，然后建立一元一次方程求解其具体的工资薪金。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额	税率
不超过 500 元的部分	5%
超过 500 元至 2000 元的部分	10%
超过 2000 元至 5000 元的部分	15%
$\cdots$	$\cdots$

某人一月份交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于()

A. 800 - 900 元　　　　　　　　　　　　　　B. 900 - 1200 元

C. 1200 - 1500 元　　　　　　　　　　　　　D. 1500 - 2800 元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确概念：工资 = 免税额 (800) + 应纳税所得额 ($x$)。
2. 计算各级距满额税金：

• 第一级：应纳税所得额在 $0\sim 500$ 元之间，满额税金为 $500\times 5\%$。

3. 区间定位：将该人交纳的税款 26.78 元与各级满额税金进行比较。发现 $26.78>25$，说明其应纳税所得额已经超过了第一级距（即 $x>500$），进入了第二级距。但由于差额不大，显然不到第二级距的上限。
4. 列方程求解：设当月工资为 $y$ 元，则应纳税所得额为 $y-800$。由于处于第二级距，税款由两部分组成：第一级满额税金 + 第二级部分税金。列出方程求解 $y$，进而判断所在区间。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先，计算第一级距（全月应纳税所得额不超过 500 元的部分）的最高可能税金： $T_1=500\times 5\%=25\text{ (元)}$

已知某人交纳的税款为 26.78 元。 因为 $26.78>25$，所以该人的“全月应纳税所得额”一定超过了 500 元。 同时，第二级距的最高税金为 $(2000-500)\times 10\%=150$ 元。 累计最高税金为 $25+150=175$ 元，显然 $26.78<175$，说明该人的“全月应纳税所得额”介于 500 元到 2000 元之间。

设该人当月工资、薪金所得为 $y$ 元。 其全月应纳税所得额为：$y-800$。 根据分段累进税率规定，其交纳的税款组成为：第一级全额税金 + 超过 500 元部分的税金。 列出方程： $25+(y-800-500)\times 10\%=26.78$ $25+(y-1300)\times 0.1=26.78$

解该方程： $(y-1300)\times 0.1=26.78-25$ $(y-1300)\times 0.1=1.78$ $y-1300=\frac{1.78}{0.1}$ $y-1300=17.8$ $y=1317.8\text{ (元)}$

该人的当月工资为 1317.8 元。 观察选项，1317.8 介于 1200 元与 1500 元之间。

正确选项为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数模型的实际应用；阶梯计费（累进税率、水费电费计算等）问题的代数求解。
2. 核心方法：区间试探法。先算出各个临界点对应的函数值（满额税金），以确定已知函数值（26.78）对应的自变量落在哪个分段区间，然后在这个区间内建立对应的线性方程。
3. 避坑指南：

• 混淆“应纳税所得额”与“工资”：表中给出的“不超过 500 元”是指扣除起征点（800元）后的部分，切勿将其误认为是工资 500 元。
• 忘记加基数（起征点）：解出应纳税所得额 $x=517.8$ 后，必须加上免征的 800 元，才能得到真实的工资 $y=1317.8$ 元。如果忘记加 800，会得出 517.8，找不到答案或乱选。
• 累进计算错误：超过 500 元的部分，不能将总的应纳税所得额直接乘以 10%，必须将前 500 元按 5% 计算，剩余部分按 10% 计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自国家颁布的真实税法条例，是数学知识紧密结合社会生活的典型“应用题”雏形，体现了高考命题的现实关怀。
2. 结论推广：此类阶梯计费问题可抽象为连续分段线性函数 $f(x)$。设临界点为 $0<c_1<c_2<\cdots <c_n$，各段斜率（税率）为 $k_1,k_2,\dots ,k_n$。若 $c_{i-1}<x\le c_i$，则 $f(x)={\sum }_{j=1}^{i-1}{k}_j(c_j-c_{j-1})+k_i(x-c_{i-1})$。求解时，即是根据已知的 $f(x)$ 值，逆向定位 $i$，再解一元一次方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性