2000-大纲理-20 解-等比数列判定

本题导读

本题考查等比数列的判定，以及数列综合。核心在于定义判定法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） (1) 已知数列 ${c_{n}}$ ，其中 $c_{n} = 2^{n} + 3^{n}$ ，且数列 ${c_{n + 1} - p c_{n}}$ 为等比数列，求常数 $p$ .

(2) 设 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 是公比不相等的两个等比数列， $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，证明数列 ${c_{n}}$ 不是等比数列.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 用等比数列的必要条件 $d_{n + 1}^{2} = d_{n} d_{n + 2}$ 展开比较系数；(2) 反证：计算 $c_{n + 1}^{2} - c_{n} c_{n + 2}$ 恒不为零。

✅【答案】

Success

(1) $p = 2$ 或 $p = 3$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 记 $d_{n} = c_{n + 1} - p c_{n} = (2 - p) 2^{n} + (3 - p) 3^{n}$ . 若 ${d_{n}}$ 为等比数列，则必满足 $d_{n + 1}^{2} = d_{n} d_{n + 2}$ . 令 $A = 2 - p$ ， $B = 3 - p$ ，则 $d_{n + 1}^{2} - d_{n} d_{n + 2} = (A 2^{n + 1} + B 3^{n + 1})^{2} - (A 2^{n} + B 3^{n}) (A 2^{n + 2} + B 3^{n + 2}) = - A B \cdot 2^{n} 3^{n} = - A B \cdot 6^{n} = - (2 - p) (3 - p) 6^{n}$ . 由于 $6^{n} \neq = 0$ ，必须有 $(2 - p) (3 - p) = 0$ ，所以 $p = 2$ 或 $p = 3$ . 当 $p = 2$ 时 $d_{n} = 3^{n}$ ，当 $p = 3$ 时 $d_{n} = - 2^{n}$ ，二者均为等比数列，故这两个值都成立.

(2) 设 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的公比分别为 $r$ 和 $s$ ，其中 $r \neq = s$ . 则 $c_{n + 1} = r a_{n} + s b_{n}$ ， $c_{n + 2} = r^{2} a_{n} + s^{2} b_{n}$ . 于是 $c_{n + 1}^{2} - c_{n} c_{n + 2} = (r a_{n} + s b_{n})^{2} - (a_{n} + b_{n}) (r^{2} a_{n} + s^{2} b_{n}) = - (r - s)^{2} a_{n} b_{n}$ . 由于两个等比数列的各项非零，且 $r \neq = s$ ，右端不为 $0$ . 但是任一等比数列都满足 $c_{n + 1}^{2} = c_{n} c_{n + 2}$ ，矛盾. 因此 ${c_{n}}$ 不是等比数列.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的定义与判定

核心方法：必要条件 $d_{n + 1}^{2} = d_{n} d_{n + 2}$ + 求出后验证充分性

避坑指南：由必要条件解出的 $p$ 必须回代验证确实是等比数列；(2) 用”逐项验证 $c_{n + 1}^{2} = c_{n} c_{n + 2}$ 是否恒成立”来否定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的判定与证明是数列证明题的基本功.

结论推广：判定等比数列：定义法（ $\frac{d _{n + 1}}{d _{n}}$ 为常数）或 $d_{n + 1}^{2} = d_{n} d_{n + 2}$ （需验证 $d_{n} \neq = 0$ ）；否定则只需一个反例或恒不成立.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

1983-全国文-12 解-等差等比数列的相互转化

1986-上海理-11 单-等比数列的项数

∑ ( Math )

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2000-大纲理-20 解-等比数列判定

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