2000-大纲理-12 单-圆锥旋转体体积

本题导读

本题考查圆锥的结构特征，以及旋转体体积。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 如图，$OA$ 是圆锥底面中心 $O$ 到母线的垂线，$OA$ 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为()

A. $2a$ B. $\frac{1}{2a}$ C. $4a$ D. $\frac{4}{a}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 轴截面内建系，求垂足 $A$ 到轴的距离 $x_A$ 与 $\theta$ 的关系；旋转曲面分得的体积为 $\frac{1}{3}\pi h{x}_A^2$，令其等于圆锥体积一半。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥的高为 $h$，底面半径为 $r$，顶点为 $V$，并在含轴的截面内设底面圆周上的母线端点为 $B$. 取轴为纵轴，令 $V=(0,h)$，$O=(0,0)$，$B=(r,0)$. 设 $A$ 为 $O$ 到母线 $VB$ 的垂足，记 $A$ 到轴的距离为 $x_A$. 直线 $VB$ 的方程为 $hx+ry=hr$，由垂足坐标公式得 $x_A=\frac{r{h}^2}{r^2+h^2}$. 若 $\theta$ 为母线与轴的夹角，则 $\cos \theta =\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}$，所以 $x_A=r{\cos }^2\theta$. 旋转线段 $OA$ 所得的曲面把原圆锥分成两个部分，其中含有轴截面三角形 $VOA$ 的一部分由两个底面半径为 $x_A$、高分别为 $y_A$ 和 $h-y_A$ 的圆锥组成（$y_A$ 为点 $A$ 的纵坐标），其体积为 $\frac{1}{3}\pi x_A^2{y}_A+\frac{1}{3}\pi x_A^2(h-y_A)=\frac{1}{3}\pi h{x}_A^2$. 原圆锥体积为 $\frac{1}{3}\pi h{r}^2$. 两部分体积相等，因此 $\frac{x_A^2}{r^2}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{x_A}{r}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. 于是 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$，且 $\theta$ 为锐角，故 $\cos \theta =\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$，即母线与轴的夹角为 $\arccos \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$. 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体体积与线面角

核心方法：轴截面建系求垂足坐标

避坑指南：旋转 $OA$ 所得曲面分体积只与 $x_A$（A 到轴距离）有关，为 $\frac{1}{3}\pi h{x}_A^2$；${\cos }^2\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ 后开方别忘了 $\theta$ 为锐角

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是旋转体与体积计算的压轴选择题，融含参数建系、体积公式于一体.

2. 结论推广：线段绕轴旋转得旋转单叶双曲面片，分锥体积只取决于线段端点到轴的距离.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-12 单-圆锥旋转曲面分体积
• 2009-上海卷文-08 填-旋转体圆锥体积