2000-大纲理-01 单-映射象与原象

本题导读

本题考查映射的概念，以及象与原象。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 设集合 $A$ 和 $B$ 都是自然数集合 $\mathbf{N}$，映射 $f:A\to B$ 把集合 $A$ 中的元素 $n$ 映射成集合 $B$ 中的元素 $2^n+n$，则在映射 $f$ 下，象 $20$ 的原象是()

A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算 $f(n)=2^n+n$ 的值：$f(2)=6$，$f(3)=11$，$f(4)=20$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(n)=2^n+n$，且 $f(n+1)-f(n)=2^n+1>0$，可知 $f$ 在自然数集合上严格递增. 逐一验证：$f(3)=2^3+3=11\ne 20$，$f(4)=2^4+4=20$，所以象 $20$ 的原象是 $4$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：映射与指数运算

核心方法：验证法（利用单调性缩小范围）

避坑指南：注意 $2^n+n$ 是指数式，勿误算为 $2n+n$（若为 $2n+n$ 则 $n=\frac{20}{3}$ 非自然数，可反推核对）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题以映射为载体考查指数求值，是函数与映射概念的早期经典考法.

2. 结论推广：一般地，若 $f(n)=a^n+n$ 型且 $f$ 严格递增，求象 $y$ 的原象可先估算 $n$ 的范围再验证.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1999-广东-02 单-映射的象集合元素个数
• 1989-广东文-09 单-映射的原象
• 1989-广东理-06 单-映射的原象