2000-大纲文-11 单-抛物线焦点弦的倒数和

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦，以及焦点弦两端点到焦点距离倒数的定值。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 过抛物线 $y=a{x}^2$（$a>0$）的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P$、$Q$ 两点，若线段 $PF$ 与 $FQ$ 的长分别是 $p$、$q$，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 等于()

A. $2a$　　B. $\frac{1}{2a}$　　C. $4a$　　D. $\frac{4}{a}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 $y=a{x}^2$ 化为标准式 $x^2=\frac{1}{a}y$。
2. 用焦点弦倒数和定值公式 $\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|FQ|}=\frac{4}{2p}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y=a{x}^2$ 化为标准式 $x^2=\frac{1}{a}y$，对照 $x^2=2py$ 得 $2p=\frac{1}{a}$．设焦点 $F$，过 $F$ 的直线交抛物线于 $P$、$Q$ 两点，由抛物线焦点弦的性质，$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|FQ|}=\frac{4}{2p}=\frac{4}{1/a}=4a$．故 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=4a$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦的倒数和

核心方法：$y=a{x}^2$ 即 $x^2=\frac{1}{a}y$，$2p=\frac{1}{a}$，焦点弦端点满足 $\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|FQ|}=\frac{4}{2p}=4a$

避坑指南：焦点弦的倒数和定值 $\frac{4}{2p}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的焦点弦

结论推广：一般地，$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|FQ|}=\frac{2}{p}$

方法推广：焦点弦倒数和定值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-20 解-抛物线焦点弦过原点
• 2007-大纲Ⅰ文-12 单-抛物线焦点弦与三角形面积
• 2009-湖北卷文-20 解-抛物线焦点弦

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