2000-大纲文-04 单-正弦比较的象限命题

本题导读

本题考查三角函数在各象限内的单调性，以及由正弦比较推得其他函数的比较。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 已知 $\sin \alpha >\sin \beta$，那么下列命题成立的是()

A. 若 $\alpha$、$\beta$ 是第一象限角，则 $\cos \alpha >\cos \beta$ B. 若 $\alpha$、$\beta$ 是第二象限角，则 $\tan \alpha >\tan \beta$ C. 若 $\alpha$、$\beta$ 是第三象限角，则 $\cos \alpha >\cos \beta$ D. 若 $\alpha$、$\beta$ 是第四象限角，则 $\tan \alpha >\tan \beta$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一象限 $\sin$ 增、$\cos$ 减，推得 $\cos \alpha <\cos \beta$。
2. 第二、三、四象限分别根据 $\sin$ 与 $\cos$、$\tan$ 的单调性逐一判定。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

A：第一象限内 $\sin$ 递增、$\cos$ 递减，$\sin \alpha >\sin \beta$ 得 $\alpha >\beta$，故 $\cos \alpha <\cos \beta$，A 错； B：第二象限 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内 $\sin$ 递减、$\tan$ 递增，$\sin \alpha >\sin \beta$ 得 $\alpha <\beta$，故 $\tan \alpha <\tan \beta$，B 错； C：第三象限 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 内 $\sin$ 递减、$\cos$ 递增，$\sin \alpha >\sin \beta$ 得 $\alpha <\beta$，故 $\cos \alpha <\cos \beta$，C 错； D：第四象限 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ 内 $\sin$、$\tan$ 均递增，$\sin \alpha >\sin \beta$ 得 $\alpha >\beta$，故 $\tan \alpha >\tan \beta$，D 正确． 所以只有 D 成立，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦比较的象限命题

核心方法：第一象限 $\sin$ 增 $\cos$ 减得 $\cos \alpha <\cos \beta$；第二象限 $\sin$ 减 $\tan$ 增得 $\tan \alpha <\tan \beta$；第三象限 $\sin$ 减 $\cos$ 增得 $\cos \alpha <\cos \beta$；第四象限 $\sin ,\tan$ 均增得 $\tan \alpha >\tan \beta$，仅 D 成立

避坑指南：各象限内函数单调性逐一验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的单调性

结论推广：一般地，各象限内 $\sin ,\cos ,\tan$ 单调性不同

方法推广：逐象限验证单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-北京文-01 单-象限角符号判断
• 2008-大纲Ⅱ文-01 单-象限角符号判断
• 2008-天津文-09 单-三角函数比较大小

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