1998-全国卷文-14 单-等比数列与正弦函数

本题导读

本题考查直角三角形中三内角正弦值成等比数列，以及锐角互补关系的应用。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为()

A. $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$　　　　　C. $\frac{\sqrt{2\sqrt{5}-2}}{2}$　　　　　D. $\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设两锐角为 $\alpha <\beta$，三内角正弦从小到大为 $\sin \alpha ,\sin \beta ,1$。
2. 由等比得 ${\sin }^2\beta =\sin \alpha$，结合 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$ 解方程。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设直角三角形的两个锐角按大小分别为 $\alpha$、$\beta$，其中 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{2}$。三个内角的正弦值按从小到大排列为 $\sin \alpha$、$\sin \beta$、$1$，成等比数列，因此 ${\sin }^2\beta =\sin \alpha$。又 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$，所以 $\sin \alpha =\cos \beta$。令 $s=\sin \alpha$，则 $\sin \beta =\sqrt{1-s^2}$，等比条件给出 $1-s^2=s$，即 $s^2+s-1=0$。因为 $s>0$，所以 $s=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因此正确选项为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与正弦函数

核心方法：三内角正弦 $s=\sin \alpha$、$\sin \beta$、$1$ 成等比，得 ${\sin }^2\beta =\sin \alpha =\cos \beta$，即 $1-s^2=s$，解得 $s=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，选 B

避坑指南：锐角互补化同名

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列与直角三角形

结论推广：一般地，锐角互余有 $\sin \alpha =\cos \beta$

方法推广：锐角互补化同名

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-04 单-正弦比较的象限命题
• 2002-大纲文-17 解-正弦函数拟合温度
• 2002-上海卷文-10 填-正弦型函数偶函数定参