2000-上海卷理-08 填-函数的周期性与奇偶性

本题导读

本题考查利用函数的奇偶性与周期性求解特定区间上的函数解析式。解题核心在于运用“变量代换法”，将未知区间 $[1,2]$ 上的自变量 $x$ 转化到已知解析式的区间内，或者利用对称性与周期性直接在坐标系中画出图象求出对应的直线方程。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 设函数 $y=f(x)$ 是最小正周期为 2 的偶函数，它在区间 $[0,1]$ 上的图象为如图所示的线段 $AB$，则在区间 $[1,2]$ 上 $f(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

• 方法一：变量代换法

1. 设 $x\in [1,2]$，需要将其转化到 $f(x)$ 已知的定义域内。

2. 根据最小正周期为 2，有 $f(x)=f(x-2)$。当 $x\in [1,2]$ 时，$(x-2)\in [-1,0]$。

3. 再根据 $f(x)$ 是偶函数，有 $f(x-2)=f(-(x-2))=f(2-x)$。

4. 当 $x\in [1,2]$ 时，$(2-x)\in [0,1]$，恰好落在已知线段 $AB$ 的区间内。将 $(2-x)$ 代入 $[0,1]$ 上的解析式即可。

• 方法二：几何图象法（数形结合）

1. 依据偶函数关于 $y$ 轴对称，画出 $[-1,0]$ 区间上的图象（与 $AB$ 关于 $y$ 轴对称）。
2. 依据周期为 2，将 $[-1,1]$ 上的完整图象向右平移 2 个单位，直接得到 $[1,2]$ 区间上的直线段。
3. 求出该线段两端点的坐标，利用两点式写出直线方程。

✅【答案】

Success

$x$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出 $[0,1]$ 区间上的函数解析式 由图象可知，在区间 $[0,1]$ 上， $f(x)$ 的图象是一条经过点 $A(0,2)$ 和 $B(1,1)$ 的线段。 设直线方程为 $f(x)=kx+b$：

• 截距 $b=2$；
• 斜率 $k=\frac{1-2}{1-0}=-1$。

所以，当 $x\in [0,1]$ 时： $f(x)=-x+2$

第二步：利用性质进行区间转化（变量代换法） 设目标区间内的自变量 $x\in [1,2]$。 因为函数 $f(x)$ 的最小正周期为 2，所以： $f(x)=f(x-2)$

又因为 $f(x)$ 是偶函数，满足 $f(-t)=f(t)$，所以： $f(x-2)=f(-(x-2))=f(2-x)$ 从而得到： $f(x)=f(2-x)$

由于 $x\in [1,2]$，不等式同乘以 $-1$ 得 $-2\le -x\le -1$，再各边加 2 得： $0\le 2-x\le 1$ 即自变量 $(2-x)$ 恰好落在已知区间 $[0,1]$ 内。

将 $(2-x)$ 代入第一步求得的区间 $[0,1]$ 解析式中： $f(x)=f(2-x)=-(2-x)+2=-2+x+2=x$

所以，在区间 $[1,2]$ 上，函数的解析式为 $f(x)=x$。

答案： $x$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性（对称性）与周期性的复合代数变形；已知局部图象求一元一次函数解析式。
2. 核心方法：变量代换法。核心口诀是“欲求某区间，假设 $x$ 在该区间，利用性质往已知区间搬”。
3. 避坑指南：

• 极易在偶函数变形 $f(x-2)=f(2-x)$ 时，误记为奇函数而添加负号。
• 采用图象法平移时，注意端点坐标的对应。 $[-1,0]$ 上的段对应的端点是 $(-1,1)$ 和 $(0,2)$。整体向右平移 2 个单位后，在新区间 $[1,2]$ 上对应的端点是 $(1,1)$ 和 $(2,2)$。过这两点的直线方程为 $y=x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的函数抽象性质与具体初等函数结合的常规填空题，考查学生对 $f(x+T)=f(x)$ 和 $f(-x)=f(x)$ 两个基本公式的联立熟练度。
2. 结论推广：若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的偶函数，且在 $\left[0,\frac{T}{2}\right]$ 上的解析式为 $g(x)$，则在下一个对称邻域区间 $\left[\frac{T}{2},T\right]$ 上的解析式恒为 $f(x)=g(T-x)$。本题中 $T=2$，$g(x)=-x+2$，故在 $[1,2]$ 上为 $g(2-x)=-(2-x)+2=x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性