2000-上海卷理-02 填-对数函数的定义域

本题导读

本题考查具体函数的定义域求解。核心在于掌握对数函数的真数必须严格大于零这一基本原则，并将分式不等式转化为二次不等式进行求解。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 函数 $y={\log }_2\frac{2x-1}{3-x}$ 的定义域为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据对数函数的性质，真数部分必须严格大于零，即 $\frac{2x-1}{3-x}>0$。
2. 将分式不等式等价转化为二次不等式 $(2x-1)(3-x)>0$，调整最高次项系数符号后求解对应区间。

✅【答案】

Success

$\left(\frac{1}{2},3\right)$

✍【详细解析】

Abstract

要使函数 $y={\log }_2\frac{2x-1}{3-x}$ 有意义，需满足真数大于 0： $\frac{2x-1}{3-x}>0$

根据实数除法与乘法的符号法则，该分式不等式等价于： $(2x-1)(3-x)>0$

将第二个因式提取负号，使 $x$ 的系数变为正数： $-(2x-1)(x-3)>0$

两边同乘以 $-1$，不等号方向发生改变： $(2x-1)(x-3)<0$

解该一元二次不等式，对应两根为 $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。 因式积小于 0，取两根之间： $\frac{1}{2}<x<3$

所以，函数的定义域用区间表示为 $\left(\frac{1}{2},3\right)$，用集合表示为 $\left\{x|\frac{1}{2}<x<3\right\}$。

答案： $\left(\frac{1}{2},3\right)$ （或 $\left\{x|\frac{1}{2}<x<3\right\}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数真数严格大于 0；分式不等式与二次不等式的等解变形。
2. 核心方法：等价转化法。
3. 避坑指南：

• 极易忽略分母不为 0 的限制，但在转化为 $(2x-1)(x-3)<0$ 时，严格小于号已经自动排除了 $x=3$ 的可能。
• 在变形时若没有将 $(3-x)$ 转化为 $(x-3)$，容易直接看错不等号方向，从而错算成两根之外。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高中代数中对数概念与不等式求解的基础组合题。
2. 结论推广：对于任意形如 $y={\log }_a\frac{kx+b}{cx+d}$ 的函数，其定义域的充要条件等价于二次不等式 $(kx+b)(cx+d)>0$ 的解集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-03 单-对数函数定义域
• 1977-山东A-03 解-函数定义域两连
• 1977-山东B-03 解-函数定义域两连