2000-上海文-18 解-四面体体积与异面直线所成角

本题导读

本题考查四面体的体积与异面直线所成的角。核心在于建系由异面角确定棱长，再求体积。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 如图所示四面体 $ABCD$ 中，$AB$、$BC$、$BD$ 两两互相垂直，且 $AB=BC=2$，$E$ 是 $AC$ 中点，异面直线 $AD$ 与 $BE$ 所成的角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{10}}{10}$，求四面体 $ABCD$ 的体积．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $B$ 为原点、三条棱为轴建系。
2. 用异面角条件解出 $BD=d$。
3. $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot BD$。

✅【答案】

Success

$V=\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $B$ 为原点，分别以 $BA$、$BC$、$BD$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系．设 $BD=d$（$d>0$），则 $B(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$D(0,0,d)$，$E$ 为 $AC$ 中点，$E(1,1,0)$． 于是 $\overrightarrow{AD}=(-2,0,d)$，$\overrightarrow{BE}=(1,1,0)$．异面直线所成角取锐角或直角，故 $\cos \angle (AD,BE)=\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BE}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{d^2+4}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$． 两边平方：$\frac{4}{2(d^2+4)}=\frac{1}{10}$，解得 $d^2=16$，$d=4$，即 $BD=4$． $△ABC$ 中 $AB\perp BC$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$，且 $BD\perp$ 平面 $ABC$，故 $V_{ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot BD=\frac{1}{3}\times 2\times 4=\frac{8}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四面体体积与异面直线所成角

核心方法：以 $B$ 为原点建系，$E(1,1,0)$，$\cos \angle (AD,BE)=\frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{4+d^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ 得 $d=4$，$V=\frac{1}{3}\times 2\times 4=\frac{8}{3}$

避坑指南：建系用异面角定棱长，再算体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量与异面直线所成角

结论推广：一般地，$\cos \theta =\frac{|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

方法推广：建系定棱长再算体积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角
• 2007-上海卷文-07 填-异面直线所成角
• 2005-天津卷文-13 填-异面直线所成角

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