1999-全国卷理-24 解-角平分线的轨迹方程

本题导读

本题考查轨迹方程的求法。核心在于参数法与几何条件代数化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 如图，给出定点 $A(a,0)$ $(a>0)$ 和直线 $l:x=-1$. $B$ 是直线 $l$ 上的动点，$\angle BOA$ 的角平分线交 $AB$ 于点 $C$. 求点 $C$ 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 $a$ 值的关系.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标参数化：设动点 $B(-1,y_0)$，轨迹动点 $C(x,y)$。
2. 几何定理转化：由 $OC$ 平分 $\angle BOA$，根据三角形内角平分线定理可得 $\frac{|BC|}{|CA|}=\frac{|OB|}{|OA|}$。
3. 定比分点代换：令比值为 $\lambda$，计算 $|OB|$ 和 $|OA|$ 得到 $\lambda$ 的表达式。利用定比分点坐标公式（或向量共线）建立 $x,y$ 与 $\lambda ,y_0$ 的方程组。
4. 消元求迹：反解出 $\lambda$ 和 $y_0$，代入模长关系式中消去参数 $y_0$，化简即得 $C$ 点的轨迹方程。同时通过 $y_0^2\ge 0$ 确定 $x$ 的取值范围。
5. 分类讨论：根据二次项系数 $1-a$ 的符号，分 $a=1,0<a<1,a>1$ 三种情况，配方转化为圆锥曲线标准形式判定曲线类型。

✅【答案】

Success

轨迹方程为 $(a-1)x^2+2ax-(a+1)y^2=0$（取 $0\le x<a$ 部分）

当 $a>1$ 时为双曲线；当 $a=1$ 时为抛物线 $x=y^2$；当 $0<a<1$ 时为椭圆

✍【详细解析】

Abstract

设动点 $B$ 的坐标为 $(-1,y_0)$，点 $C$ 的坐标为 $(x,y)$。 因为 $OC$ 平分 $\angle BOA$，根据三角形角平分线定理有： $\frac{|BC|}{|CA|}=\frac{|OB|}{|OA|}$ 已知 $A(a,0)$，则 $|OA|=a$，$|OB|=\sqrt{(-1{)}^2+y_0^2}=\sqrt{1+y_0^2}$。 令 $\lambda =\frac{|BC|}{|CA|}$，则 $\lambda =\frac{\sqrt{1+y_0^2}}{a}$。

由于点 $C$ 在线段 $AB$ 上，根据定比分点坐标公式有： $x=\frac{-1+a\lambda }{1+\lambda },y=\frac{y_0+0\cdot \lambda }{1+\lambda }$ 从 $x$ 的表达式反解出 $\lambda$： $x(1+\lambda )=-1+a\lambda ⟹\lambda (a-x)=x+1⟹\lambda =\frac{x+1}{a-x}$ 从 $y$ 的表达式反解出 $y_0$： $y_0=y(1+\lambda )=y\left(1+\frac{x+1}{a-x}\right)=y\frac{a+1}{a-x}$ 将 $\lambda$ 和 $y_0$ 代入 ${\lambda }^2=\frac{1+y_0^2}{a^2}$ 中，得： $a^2{\lambda }^2=1+y_0^2$ $a^2{\left(\frac{x+1}{a-x}\right)}^2=1+y^2{\left(\frac{a+1}{a-x}\right)}^2$ 两边同乘 $(a-x{)}^2$，得： $a^2(x+1{)}^2=(a-x{)}^2+y^2(a+1{)}^2$ 展开并合并同类项： $a^2(x^2+2x+1)=x^2-2ax+a^2+y^2(a+1{)}^2$ $(a^2-1)x^2+2a(a+1)x=(a+1{)}^2{y}^2$ 因为 $a>0$，所以 $a+1\ne 0$。两边同除以 $a+1$，得： $(a-1)x^2+2ax=(a+1)y^2$ 即点 $C$ 的轨迹方程为： $(1-a)x^2+(a+1)y^2-2ax=0$

求定义域（限制条件）： 由于 $y_0^2\ge 0$，则 $a^2{\lambda }^2-1\ge 0⟹\lambda \ge \frac{1}{a}$。 代入 $\lambda =\frac{x+1}{a-x}$ 得：$\frac{x+1}{a-x}\ge \frac{1}{a}⟹a(x+1)\ge a-x⟹(a+1)x\ge 0⟹x\ge 0$。 又因点 $C$ 在线段 $AB$ 上且不与 $A$ 重合，故 $x<a$。 所以轨迹方程的横坐标范围为 $0\le x<a$。

讨论曲线类型： 对轨迹方程 $(1-a)x^2+(a+1)y^2-2ax=0(0\le x<a)$ 按 $a$ 的取值进行分类讨论：

1. 当 $a=1$ 时： 方程化为 $2y^2-2x=0⟹y^2=x(0\le x<1)$。 此时方程表示的曲线是一段抛物线弧。

2. 当 $0<a<1$ 时： 方程化为 $(1-a)x^2-2ax+(a+1)y^2=0$。 配方得：$(1-a){\left(x-\frac{a}{1-a}\right)}^2+(a+1)y^2=\frac{a^2}{1-a}$。 因为 $1-a>0$ 且 $a+1>0$，系数同号， 此时方程表示的曲线是一段椭圆弧。

3. 当 $a>1$ 时： 方程化为 $(a-1)x^2+2ax-(a+1)y^2=0$。 配方得：$(a-1){\left(x+\frac{a}{a-1}\right)}^2-(a+1)y^2=\frac{a^2}{a-1}$。 因为 $a-1>0$ 且 $a+1>0$，中间为减号， 此时方程表示的曲线是一段双曲线的分支弧。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形角平分线定理向代数坐标形式的过渡；含参圆锥曲线标准方程的配方与分类甄别。
2. 核心方法：交轨法设参求迹。选取过渡参数（本题为动点纵坐标 $y_0$ 和分点比值 $\lambda$），通过几何关系构建桥梁后强行消元。
3. 避坑指南：

• 遗漏变量范围：求出解析式后，极易忽略 $y_0^2\ge 0$ 导致 $x\ge 0$ 的约束。不写出 $0\le x<a$ 会导致轨迹描述不严谨，损失步骤分。
• 配方定型错误：在讨论 $0<a<1$ 和 $a>1$ 时，必须通过配方明确二次项与常数项的正负关系，方可严密判定为椭圆或双曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将初中平面几何（角平分线定理）与高中解析几何完美结合，是高考参数轨迹题的经典骨架模型。
2. 结论推广：处理此类“定点+定线+动点+角平分线”模型时，统一思路均是寻找长度比 $\lambda$，随后代入定比分点公式。最终轨迹方程为 $A{x}^2+B{y}^2+Cx+D=0$ 的形式，其圆锥曲线类型完全取决于判别式（即二次项系数 $A\cdot B$ 的符号）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.07 角平分线模型
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹
• 2009-新课标Ⅰ文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 1986-广东理-15 单-椭圆与抛物线的交点