1999-全国卷理-17 填-基本不等式求 ab 范围

本题导读

本题考查基本不等式，以及换元法解不等式。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 若正数 $a$、$b$ 满足 $ab=a+b+3$，则 $ab$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找不等关系：已知 $a,b$ 为正数，自然联想到基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$。
2. 整体代换：将题干等式变形为 $a+b=ab-3$，整体代入基本不等式中，消去 $a+b$。
3. 换元降次：得到关于 $ab$ 的不等式后，令 $t=\sqrt{ab}$ 进行换元，解一元二次不等式并注意隐含的自变量范围（$t>0$）。

✅【答案】

Success

$[9,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $a>0,b>0$，且满足等式： $ab=a+b+3⟹a+b=ab-3$

根据基本不等式（均值不等式），对于任意正数 $a,b$，恒有： $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 当且仅当 $a=b$ 时等号成立。

将 $a+b=ab-3$ 代入上述不等式，得： $ab-3\ge 2\sqrt{ab}$

为方便计算，令 $t=\sqrt{ab}$。因为 $a>0,b>0$，所以 $t>0$。 原不等式化为关于 $t$ 的一元二次不等式： $t^2-2t-3\ge 0$

因式分解： $(t-3)(t+1)\ge 0$

因为 $t>0$，必然有 $t+1>0$ 恒成立。 两边同除以正数 $(t+1)$，不等号方向不变： $t-3\ge 0⟹t\ge 3$

即： $\sqrt{ab}\ge 3⟹ab\ge 9$

检验等号成立条件：当且仅当 $a=b$ 且 $ab=9$ 时取等号。解得 $a=b=3$。 代入原等式：$3\times 3=3+3+3⟹9=9$，等号成立条件合法。

所以，$ab$ 的取值范围是 $[9,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：均值不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 实现“和”与“积”的转化；一元二次不等式的求解。
2. 核心方法：整体代换法与换元法。
3. 避坑指南：

• 忽略等号成立条件：求出 $ab\ge 9$ 后，必须在草稿纸上反向验证 $a=b$ 时是否存在实数解，若无实数解则说明等号无法取到，区间需变为开区间。本题经检验 $a=b=3$ 时成立，故为闭区间。
• 解不等式忽略定义域：解 $(t-3)(t+1)\ge 0$ 时，直接写出 $t\ge 3$ 或 $t\le -1$，然后忘记舍去负根 $t\le -1$。必须始终明确算术平方根 $t=\sqrt{ab}>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为代数变形中极经典的“已知和积关系求最值”题型。
2. 结论推广：一般地，若正数 $x,y$ 满足方程 $xy=m(x+y)+n(m>0)$，求积 $xy$ 的最小值或和 $x+y$ 的最小值，均可通过恒等式 $xy-n=m(x+y)\ge 2m\sqrt{xy}$ 转化为关于 $t=\sqrt{xy}$ 的一元二次不等式 $t^2-2mt-n\ge 0$ 求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1994-全国卷文-22 解-对数函数与均值不等式
• 1987-广东理-28 填-均值不等式