1999-全国卷理-11 单-三角函数的大小比较

本题导读

本题考查各象限三角函数的符号，以及同角三角函数的基本关系。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)）若 $sin α > tan α > cot α$ $(- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2})$ ，则 $α \in$ ()

A. $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 　　　　B. $(- \frac{π}{4}, 0)$ 　　　　C. $(0, \frac{π}{4})$ 　　　　D. $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

第一步：符号定性判定（定象限）：观察连不等式的首尾项： $sin α > tan α > cot α$ 。

若 $α$ 在第一象限 $(0, \frac{π}{2})$ ，则 $sin α$ 、 $tan α$ 、 $cot α$ 均为正数。在第一象限内，由商数关系知 $tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$ ，由于 $0 < cos α < 1$ ，必定有 $tan α > sin α$ ，这与题设条件 $sin α > tan α$ 直接矛盾。由此可以排除所有的正数区间（C、D 选项）。

从而判定 $α$ 必须在第四象限 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 。在第四象限内，三个三角函数值均为负数。

第二步：细分区间判定（定大小）：在第四象限的两个子区间 (A) $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 和 (B) $(- \frac{π}{4}, 0)$ 中，利用特殊值代入法或解析式化简进行定量甄别。

提取不等式的一部分： $tan α > cot α$ 。

两边同乘负数或利用倒数关系化简，锁定其属于 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 还是 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：排除第一象限

已知定义域为 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 。若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ （第一象限），此时 $sin α > 0$ ， $cos α \in (0, 1)$ 。根据商数关系： $tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$ 因为分母 $cos α < 1$ ，所以有： $tan α > sin α$ 这与题目中要求的 $sin α > tan α$ 矛盾。因此， $α$ 不可能在第一象限，排除 C、D 选项。

第二步：确定第四象限的具体区间

此时 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ （第四象限），在此象限内， $sin α < 0$ ， $tan α < 0$ ， $cot α < 0$ 。

我们重点考察不等式后半部分： $tan α > cot α$

利用同角三角函数的倒数关系 $cot α = \frac{1}{t a n α}$ ，代入上式： $tan α > \frac{1}{t a n α}$

因为在第四象限 $tan α < 0$ ，在不等式两边同时乘以负数 $tan α$ 时，不等号必须发生翻转： $(tan α)^{2} < 1 ⟹ ∣ tan α ∣ < 1$

由于 $tan α < 0$ ，去掉绝对值号得： $- 1 < tan α < 0$

在区间 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 内，满足 $- 1 < tan α < 0$ 的角度范围显然为： $α \in (- \frac{π}{4}, 0)$

第三步：代入验证（可选）

为确保完备性，我们在 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 内取特殊值 $α = - \frac{π}{6}$ 进行验证：

$sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} = - 0.5$

$tan (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{3} \approx - 0.577$

$cot (- \frac{π}{6}) = - 3 \approx - 1.732$

由于 $- 0.5 > - 0.577 > - 1.732$ ，即 $sin α > tan α > cot α$ 完全成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数在第四象限的符号走势（全是负数）；含有负数因子的不等式两边同乘时方向的变换规律；特殊角三角函数值的记忆。

核心方法：特殊值排除法。在做选择题时，直接提取各选项区间的代表性特殊角（如 $- \frac{π}{3}$ 和 $- \frac{π}{6}$ ）代入计算，能省去复杂的代数论证过程，属于高效的考场解题技巧。

避坑指南：

不等式两边同乘负数漏掉变号：在由 $tan α > \frac{1}{t a n α}$ 推导 $tan^{2} α$ 的范围时，极易因忽略 $tan α < 0$ 而直接写成 $tan^{2} α > 1$ ，从而误选 A。在处理三角不等式时，必须时刻警惕当前象限内各函数值的正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自教材中“三角函数的诱导公式与图象性质”一节，考查学生对正弦、正切、余切曲线在 $y$ 轴左侧走势的精细化对比。

结论推广：在直角坐标系的四个象限中，各三角函数线在单位圆上的长短关系具有极强的对称性。对于第四象限 $(- \frac{π}{2}, 0)$ ：

在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 区间内，有 $cot α > sin α > tan α$ （此处 $∣ tan α ∣ > ∣ sin α ∣$ ，两个负数一比，绝对值大的反而小）；

在 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 区间内，有 $sin α > tan α > cot α$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

2004-辽宁卷-01 单-三角函数在各象限的符号特征

1993-上海-14 单-反三角函数的大小比较

2001-大纲理-01 单-三角函数在各象限的符号

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1999-全国卷理-11 单-三角函数的大小比较

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

第一步：排除第一象限

第二步：确定第四象限的具体区间

第三步：代入验证（可选）

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

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