1999-全国卷理-06 单-圆的对称性

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的对称性质。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 在极坐标系中，曲线 $\rho =4\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$ 关于()

A. 直线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 轴对称　　　　　　　　　　　　B. 直线 $\theta =\frac{5}{6}\pi$ 轴对称

C. 点 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$ 中心对称　　　　　　　　　　D. 极点中心对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别曲线几何类型：形式为 $\rho =2R\sin (\theta -\alpha )$ 的极坐标方程在几何上均表示一个圆。因为圆是轴对称图形，其任意一条对称轴都必然通过该圆的圆心；同时，圆是中心对称图形，其唯一的对称中心即为圆心本身。由此可直接排除 D 选项（圆不可能关于非圆心的极点中心对称）。
2. 方法一：直角坐标化（推荐）：利用两角差的正弦公式展开极坐标方程，两边同乘以 $\rho$，利用 $\text{x}=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$ 转化为直角坐标系的标准圆方程。求出圆心直角坐标后，再将其转回极坐标，即可直接判定对称轴与对称中心。
3. 方法二：极坐标直接判定：利用圆的极坐标性质，$\rho =2R\sin (\theta -\alpha )$ 的圆心极坐标为 $(R,\alpha +\frac{\pi }{2})$，且通过圆心的过极点直线（对称轴之一）对应的极角为 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直角坐标化分析

首先，利用两角差的正弦公式将已知的极坐标方程展开： $\rho =4\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)$ 代入特殊角三角函数值 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得： $\rho =4\left(\frac{1}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta$

两边同乘以极径 $\rho$： ${\rho }^2=2\rho \sin \theta -2\sqrt{3}\rho \cos \theta$

引入极坐标与直角坐标的转换公式： $\{\begin{array}{l}{\rho }^2=x^2+y^2\\ \rho \cos \theta =x\\ \rho \sin \theta =y\end{array}$ 代入上式，得到直角坐标方程： $x^2+y^2=2y-2\sqrt{3}x⟹x^2+2\sqrt{3}x+y^2-2y=0$

进行配方化为圆的标准方程： $(x+\sqrt{3}{)}^2+(y-1{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2+1^2⟹(x+\sqrt{3}{)}^2+(y-1{)}^2=4$

由标准方程可知，该曲线是一个以 $C(-\sqrt{3},1)$ 为圆心，半径 $R=2$ 的圆。

1. 检验中心对称性（C选项）： 圆的对称中心是其圆心。我们将圆心 $C$ 的直角坐标 $(-\sqrt{3},1)$ 转换为极坐标 $({\rho }_0,{\theta }_0)$： ${\rho }_0=\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$ $\tan {\theta }_0=\frac{y}{x}=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 因为 $x<0,y>0$，圆心处于第二象限，故极角 ${\theta }_0=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5}{6}\pi$。 即圆心的极坐标为 $\left(2,\frac{5}{6}\pi \right)$。因此该圆关于点 $\left(2,\frac{5}{6}\pi \right)$ 中心对称，C 选项给出的点不对，排除 C。

2. 检验轴对称性（A、B选项）： 圆的对称轴是任何一条经过圆心的直线。在极坐标系中，通过极点且经过圆心的直线的方程显然为： $\theta ={\theta }_0⟹\theta =\frac{5}{6}\pi$ 所以，直线 $\theta =\frac{5}{6}\pi$ 是该圆的一条对称轴。

方法二：极坐标几何性质

在极坐标系中，方程 $\rho =2R\sin (\theta -\alpha )$ 表示一个过极点、圆心极坐标为 $\left(R,\alpha +\frac{\pi }{2}\right)$ 的圆。 对比题干方程 $\rho =4\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)$： 可得 $2R=4⟹R=2$，且偏移角 $\alpha =\frac{\pi }{3}$。

该圆的圆心极坐标为： $\left(2,\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\left(2,\frac{5}{6}\pi \right)$

由于圆的对称轴必过圆心，经过极点与圆心的直线 $\theta =\frac{5}{6}\pi$ 必然是该圆的一条对称轴。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的转换（重点是两边同乘 $\rho$ 凑出 ${\rho }^2,\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta$）；圆的标准方程及几何对称要素。
2. 核心方法：坐标系降维/转化法。极坐标系中的空间几何关系往往较为抽象，直接将其平移至熟悉的直角坐标系中处理圆心和对称轴，能大幅提高准确率。
3. 避坑指南：

• 展开三角函数时注意正负号。$\sin \left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}$，对应的 $\cos \theta$ 前面是负号，配方时容易把圆心的 $x$ 坐标符号弄反。
• 确定极角象限。在将直角坐标 $(-\sqrt{3},1)$ 还原回极角时，必须根据“$x$ 负 $y$ 正”判定其在第二象限，不能盲目写成 $-\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{11}{16}\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于新教材“坐标系与参数方程”选考章节的经典圆方程变换。通过将圆心移离原点（极点）并带有旋转相位，考查极坐标系下图形对称特征的本质。
2. 结论推广：在极坐标系中，对于任意型如 $\rho =2R\sin (\theta -\alpha )$ 或 $\rho =2R\cos (\theta -\alpha )$ 的圆：

• $\rho =2R\sin (\theta -\alpha )$ 的圆心极坐标为 $\left(R,\alpha +\frac{\pi }{2}\right)$，其必关于直线 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{2}$ 轴对称；
• $\rho =2R\cos (\theta -\alpha )$ 的圆心极坐标为 $(R,\alpha )$，其必关于直线 $\theta =\alpha$ 轴对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 05.02 函数的四大性质
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-27 填-圆的极坐标方程
• 1985-广东理-12 单-极坐标方程表示的曲线
• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标