1999-全国卷文-21 解-复数辐角与三角最值

本题导读

本题考查复数的辐角与三角恒等变换。核心在于用正切差角公式表示 $\theta -\arg z$ 再求最值。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 设复数 $z=3\cos \theta +2i\sin \theta$，求函数 $y=\theta -\arg z$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）的最大值以及对应的 $\theta$ 值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $z$ 求 $\tan (\arg z)=\frac{2\sin \theta }{3\cos \theta }=\frac{2}{3}\tan \theta$。
2. 用正切差角公式表示 $\tan y$，再用均值不等式求最大值。

✅【答案】

Success

最大值 $\arctan \frac{\sqrt{6}}{12}$，对应 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 知 $z$ 在第一象限，设 $\alpha =\arg z$，则 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，且 $\tan \alpha =\frac{2\sin \theta }{3\cos \theta }=\frac{2}{3}\tan \theta$。因此 $0<y=\theta -\alpha <\frac{\pi }{2}$。令 $t=\tan \theta >0$，利用正切差角公式得 $\tan y=\frac{t-\frac{2}{3}t}{1+\frac{2}{3}{t}^2}=\frac{\frac{1}{3}t}{1+\frac{2}{3}{t}^2}=\frac{t}{3+2t^2}$。又因为 $\frac{3+2t^2}{t}=\frac{3}{t}+2t\ge 2\sqrt{6}$，所以 $0<\tan y=\frac{t}{3+2t^2}\le \frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$。等号成立当且仅当 $\frac{3}{t}=2t$，即 $t=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。由于正切函数在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增，故 $y$ 的最大值为 $\arctan \frac{\sqrt{6}}{12}$，对应的 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数辐角与三角最值

核心方法：$\tan (\arg z)=\frac{2\sin \theta }{3\cos \theta }=\frac{2}{3}\tan \theta$，令 $t=\tan \theta$，$\tan y=\frac{t-\frac{2}{3}t}{1+\frac{2}{3}{t}^2}=\frac{t}{3+2t^2}\le \frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$，等号 $t=\frac{\sqrt{6}}{2}$，故最大值 $\arctan \frac{\sqrt{6}}{12}$，$\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$

避坑指南：正切差角公式 + 均值不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的辐角与三角公式

结论推广：一般地，$\tan (\arg z)=\frac{虚部}{实部}$

方法推广：正切差角 + 均值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-05 单-复数的辐角
• 2004-全国卷III文-07 单-复数辐角与平方
• 2002-大纲文-02 单-复数三角形式求值