1999-广东-18 解-复数的辐角与正切型最值

本题导读

本题考查复数的辐角与正切型函数最值。核心在于由 $\tan (\arg z)=\frac{2}{3}\tan \theta$，用差角公式展开 $\tan (\theta -\arg z)$，化为 $\frac{t}{3+2t^2}$ 型后用基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 设复数 $z=3\cos \theta +\mathrm{i}\cdot 2\sin \theta$，求函数 $y=\tan (\theta -\arg z)$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）的最大值以及对应的 $\theta$ 值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $z$ 的实虚部得 $\tan (\arg z)=\frac{2\sin \theta }{3\cos \theta }=\frac{2}{3}\tan \theta$。
2. 差角公式展开，令 $t=\tan \theta$，化为 $\frac{t}{3+2t^2}$。
3. 写成 $\frac{1}{\frac{3}{t}+2t}$，用基本不等式求最大值及取等条件。

✅【答案】

Success

最大值 $\frac{\sqrt{6}}{12}$，对应 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 得 $\tan \theta >0$。又 $\tan (\arg z)=\frac{2\sin \theta }{3\cos \theta }=\frac{2}{3}\tan \theta$，故 $y=\tan (\theta -\arg z)=\frac{\tan \theta -\frac{2}{3}\tan \theta }{1+\frac{2}{3}{\tan }^2\theta }=\frac{\frac{1}{3}\tan \theta }{1+\frac{2}{3}{\tan }^2\theta }=\frac{\tan \theta }{3+2{\tan }^2\theta }=\frac{1}{\frac{3}{\tan \theta }+2\tan \theta }$。 由基本不等式，$\frac{3}{\tan \theta }+2\tan \theta ⩾2\sqrt{\frac{3}{\tan \theta }\cdot 2\tan \theta }=2\sqrt{6}$，所以 $y⩽\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$，当且仅当 $\frac{3}{\tan \theta }=2\tan \theta$，即 $\tan \theta =\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时取等号。因此 $y$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{12}$，对应的 $\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角与正切型最值

核心方法：$\tan (\arg z)=\frac{2}{3}\tan \theta$，$y=\frac{\tan \theta }{3+2{\tan }^2\theta }=\frac{1}{\frac{3}{\tan \theta }+2\tan \theta }⩽\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$，等号当 $\tan \theta =\frac{\sqrt{6}}{2}$；；最大值 $\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\theta =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}$

避坑指南：正切差角公式 + 基本不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的辐角与均值不等式

结论推广：一般地，$\frac{t}{a{t}^2+b}$ 型最值化为 $\frac{1}{at+\frac{b}{t}}$ 用 AM-GM

方法推广：正切差角 + 基本不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-21 解-复数辐角与三角最值
• 2001-大纲文-05 单-复数的辐角