1999-上海理-12 填-四面体体积的可能值

本题导读

本题考查四面体体积的计算与分类讨论。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 若四面体各棱的长是 $1$ 或 $2$，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是　　　（只需写出一个可能的值）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析棱长组合（不能出现 $1+1=2$ 的退化情形）。
2. 取一种可行组合（如底面边长 $1$、侧棱全 $2$ 的正三棱锥）计算体积。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{11}}{12}$（或 $\frac{\sqrt{14}}{12}$，或 $\frac{\sqrt{11}}{6}$，三者中的任一个）

✍【详细解析】

Abstract

取底面为边长 $1$ 的正三角形、三条侧棱长均为 $2$ 的正三棱锥。底面正三角形外接圆半径 $R=\frac{1}{\sqrt{3}}$，高 $h=\sqrt{2^2-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{11}{3}}$。底面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}$。故体积 $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{\sqrt{11}}{12}$。此外，棱长组合不同的另两种非正四面体体积分别为 $\frac{\sqrt{14}}{12}$ 与 $\frac{\sqrt{11}}{6}$（三者中的任一个均可）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四面体体积的可能值

核心方法：底面边长 $1$、侧棱全 $2$ 的正三棱锥：$h=\sqrt{4-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{11}{3}}$，$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{\sqrt{11}}{12}$（另有 $\frac{\sqrt{14}}{12}$、$\frac{\sqrt{11}}{6}$）

避坑指南：分类棱长组合求体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材四面体的体积

结论推广：一般地，正三棱锥 $V=\frac{1}{3}Sh$，$h=\sqrt{l^2-R^2}$

方法推广：分类棱长组合

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-18 解-四面体体积与异面直线所成角
• 1999-全国卷文-10 单-多面体体积的分割