1999-上海理-08 填-向量的旋转坐标变换

本题导读

本题考查向量的旋转坐标变换。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 若将向量 $\mathbf{a}=\{2,1\}$ 围绕原点按逆时针方向旋转 $\frac{\pi }{4}$ 得到向量 $\mathbf{b}$，则向量 $\mathbf{b}$ 的坐标为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用逆时针旋转公式：$x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$，$y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$。
2. 代入 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 计算。

✅【答案】

Success

$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

向量 $(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 后为 $\left(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta \right)$。代入 $x=2$，$y=1$，$\theta =\frac{\pi }{4}$：$x^{\prime }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$y^{\prime }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。故 $\mathbf{b}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量绕原点旋转的坐标公式、旋转前后模长不变.

核心方法：逆时针旋转 $\theta$ 的坐标式是 $x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$、$y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$. 它的来路是两角和的正余弦：把 $\vec{a}=(x,y)$ 写成 $|a|(\cos \phi ,\sin \phi )$，转 $\theta$ 后就是 $|a|(\cos (\phi +\theta ),\sin (\phi +\theta ))$，展开即得.

避坑指南：一、顺时针要把 $\theta$ 换成 $-\theta$，符号只反在 $\sin$ 那一项上，别把两行都变号；二、旋转不改变模长，算完拿 $|\vec{b}|=|\vec{a}|=\sqrt{5}$ 验一遍，一分钟就能查出符号错；三、若不想背公式，也可设 $\vec{b}=(x^{\prime },y^{\prime })$，用 $|\vec{b}{|}^2=5$ 与 $\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cos \frac{\pi }{4}$ 联立求解，只是要多解一组方程、还要判断两个解里哪一个对应逆时针.

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材向量的坐标运算

结论推广：一般地，逆时针旋转 $\theta$：$(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$

方法推广：旋转公式直接计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-02 单-复数的向量旋转
• 2008-四川文-06 单-直线旋转与平移
• 2007-江苏卷-16 填-秒针旋转建模