1999-上海理-06 填-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角恒等变换与最小正周期。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 函数 $y=2\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x+1$ 的最小正周期 $T=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用二倍角公式化简：$2\sin x\cos x=\sin 2x$，$1-2{\sin }^{2}x=\cos 2x$。
2. 化为 $\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 读周期。

✅【答案】

Success

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

$y=2\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x+1=\sin 2x+\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最小正周期

核心方法：$y=\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$，$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

避坑指南：降幂化单一正弦再读周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二倍角公式

结论推广：一般地，$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

方法推广：降幂化单一正弦

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-01 填-三角和角公式求周期
• 2004-全国卷III文-02 单-绝对值三角函数周期
• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定