1999-上海文-22 解-椭圆旋转与公共点

本题导读

本题考查椭圆绕焦点旋转后的方程、椭圆与曲线的公共点及面积函数。核心在于由旋转确定椭圆 $L$ 的方程，再由唯一公共点定 $ab=2$ 求面积函数值域。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 设椭圆 $l$ 的方程为 $\frac{(x+c{)}^2}{b^2}+\frac{(y+c{)}^2}{a^2}=1$，其中 $a>b>0$，$c$ 为椭圆的半焦距.

(1) 将椭圆 $l$ 绕它的上焦点按逆时针方向旋转 $\frac{\pi }{2}$，求所得椭圆 $L$ 的中心的坐标，长轴长，短轴长及其方程；

(2) 若椭圆 $L$ 与曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在第一象限内只有一个公共点 $P$，试用 $a$ 表示点 $P$ 的坐标；

(3) 设 $A$，$B$ 是椭圆 $L$ 的两个焦点，当 $a$ 变化时，求 $△ABP$ 的面积函数 $S(a)$ 的值域.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由旋转前后中心、半轴长的关系确定椭圆 $L$ 的中心与方程。
2. 联立 $y=\frac{1}{x}$ 与椭圆方程，由唯一公共点令判别式为零得 $ab=2$，求 $P$。
3. 由底 $|AB|$ 与高求 $S(a)$，确定值域。

✅【答案】

Success

(1) 中心 $O(0,0)$，长轴长 $2a$，短轴长 $2b$，方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

(2) $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2}}{a}\right)$

(3) $(0,\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 椭圆 $l$ 中心的坐标为 $(-c,-c)$，上焦点为 $(-c,0)$。将 $l$ 绕其上焦点按逆时针方向旋转 $\frac{\pi }{2}$，中心正好转到原点，且长轴长为 $2a$，短轴长为 $2b$，故椭圆 $L$ 的中心坐标为 $O(0,0)$，其方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。 (2) 将 $y=\frac{1}{x}$ 代入椭圆方程，得 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{1}{b^2{x}^2}=1$，化简得 $b^2{x}^4-a^2{b}^2{x}^2+a^2=0$，由唯一公共点得 $ab=2$。于是 $x^2=\frac{a^2}{2}$，解得 $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$（舍去 $x=-\frac{a}{\sqrt{2}}$），故 $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2}}{a}\right)$。 (3) 在 $△ABP$ 中，$|AB|=2\sqrt{a^2-b^2}$，高为 $\frac{\sqrt{2}}{a}$，所以 $S(a)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{a^2-b^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2\left(1-\frac{4}{a^4}\right)}$（用 $b=\frac{2}{a}$）。又 $a>b>0$，$b=\frac{2}{a}$，所以 $a>\frac{2}{a}$，即 $a>\sqrt{2}$。于是 $0<\frac{4}{a^4}<1$，故 $0<S(a)<\sqrt{2}$。所以 $S(a)$ 的值域为 $(0,\sqrt{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆旋转与公共点

核心方法：(1) 绕上焦点逆时针转 $\frac{\pi }{2}$ 中心至原点，$L:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，长轴 $2a$ 短轴 $2b$；；(2) 联立 $y=\frac{1}{x}$ 判别式 $=0$ 得 $ab=2$，$P(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2}}{a})$；；(3) $S(a)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{a^2-b^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}\sqrt{1-\frac{4}{a^4}}\in (0,\sqrt{2})$

避坑指南：旋转变换 + 判别式定公共点 + 面积函数求值域

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆与函数综合

结论推广：一般地，唯一公共点用判别式为零；旋转后中心与半轴长不变

方法推广：旋转变换 + 判别式 + 面积函数值域

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-15 填-椭圆弦三角形面积
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围