1998-全国卷理-21 解-抛物线轨迹方程

本题导读

本题考查抛物线的定义与轨迹方程。核心在于坐标法与距离条件的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 如图，直线 $l_1$ 和 $l_2$ 相交于点 $M$，$l_1\perp l_2$，点 $N\in l_1$.以 $A,B$ 为端点的曲线段 $C$ 上的任一点到 $l_2$ 的距离与到点 $N$ 的距离相等.若 $△AMN$ 为锐角三角形，$|AM|=\sqrt{17}$，$|AN|=3$，且 $|BN|=6$.建立适当的坐标系，求曲线段 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 建立直角坐标系：由于 $l_1\perp l_2$ 且交于点 $M$，天然适合作为坐标轴。以 $M$ 为原点，$l_1$ 为 $x$ 轴，$l_2$ 为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。
2. 判定曲线类型：曲线段 $C$ 上的点到定直线 $l_2$（即 $y$ 轴）的距离等于到定点 $N$ 的距离。由抛物线的定义可知，该曲线段是以 $N$ 为焦点，$y$ 轴为准线的抛物线的一部分。
3. 确定定点 $N$ 及端点坐标：

• 设 $N(p,0)(p>0)$，则准线为 $x=0$，抛物线标准方程可设为 $y^2=2p(x-\frac{p}{2})$。
• 利用 $△AMN$ 的边长条件结合勾股定理列出关于 $p$ 和点 $A$ 坐标的方程组，解出 $p$ 并确定点 $A,B$ 的具体坐标。

4. 确定自变量范围：求出端点 $A,B$ 的横坐标，限定曲线段的自变量取值范围。

✅【答案】

Success

$y^2=8(x-2)$，其中 $3\le x\le 6$，$y>0$

✍【详细解析】

Abstract

以相交点 $M$ 为原点，直线 $l_1$ 为 $x$ 轴，直线 $l_2$ 为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。 依题意，设定点 $N$ 的坐标为 $(p,0)$，其中 $p>0$。

1. 判定曲线方程形式

曲线段 $C$ 上的任一点到点 $N(p,0)$ 的距离等于它到 $y$ 轴（即直线 $l_2$）的距离。 根据抛物线的第一定义，该曲线段是以 $N(p,0)$ 为焦点，$y$ 轴为准线的抛物线的一部分。 其顶点坐标为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，故可设抛物线方程为： $y^2=2p\left(x-\frac{p}{2}\right)⟹y^2=2px-p^2\text{(1)}$

2. 求解关键参数 $p$ 与端点 $A$ 坐标

设点 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$。由于点 $A$ 在曲线段 $C$ 上，其到 $y$ 轴的距离等于到 $N$ 的距离： $|AN|=x_1=3$

根据两点间距离公式，点 $A$ 到原点 $M(0,0)$ 的距离平方为： $|AM{|}^2=x_1^2+y_1^2=(\sqrt{17}{)}^2⟹3^2+y_1^2=17⟹y_1^2=8$

将 $x_1=3,y_1^2=8$ 代入抛物线方程①中： $8=2p\times 3-p^2⟹p^2-6p+8=0$ 解得 $p=2$ 或 $p=4$。

• 当 $p=2$ 时，$N$ 的坐标为 $(2,0)$。 此时在 $△AMN$ 中，$M(0,0),N(2,0),A(3,y_1)$。 点 $A$ 的横坐标 $x_1=3>2$，说明 $\angle AMN$ 的对边投影在 $MN$ 延长线上，此时 $\angle ANM$ 为钝角，与已知“$△AMN$ 为锐角三角形”不符，故 $p=2$ 舍去。
• 当 $p=4$ 时，$N$ 的坐标为 $(4,0)$。 此时 $x_1=3<4$，垂足落在 $MN$ 线段内部，满足 $△AMN$ 为锐角三角形，故 $p=4$ 成立。

由此确定抛物线方程为： $y^2=2\times 4x-4^2⟹y^2=8x-16$ 此时端点 $A$ 的坐标为 $(3,2\sqrt{2})$（由图知 $A,B$ 均在第一象限）。

3. 求解端点 $B$ 坐标及曲线范围

设点 $B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$。因为点 $B$ 在曲线段 $C$ 上，由定义知： $|BN|=x_2=6$

将 $x_2=6$ 代入抛物线方程中： $y_2^2=8\times 6-16=32⟹y_2=4\sqrt{2}(y_2>0)$

结合图象，曲线段 $C$ 的端点 $A,B$ 的横坐标分别为 $x=3$ 和 $x=6$。

综上所述，所求曲线段 $C$ 的方程为： $y^2=8x-16(\text{其中 }3\le x\le 6,y>0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线几何定义（到定点距离 $=$ 到定直线距离）的逆向识别；直角坐标系的合理建立；实际几何中锐角、钝角三角形对坐标位置的约束。 核心方法：方程组消元与多解排查法。利用多条件求出参数 $p$ 的双解后，必须反代回原几何图形中检验角度的合理性。 避坑指南：

• 漏掉曲线方程的自变量范围：题目要求的是“曲线段 $C$ 的方程”，而非整条抛物线，因此必须通过计算端点 $A,B$ 的坐标，严格给出 $3\le x\le 6$ 的取值范围。
• 忽视隐性排除条件：解出 $p=2$ 或 $p=4$ 时，若直接盲目作答会导致失分，必须利用“锐角三角形”这一几何条件剔除不合题意的解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题将初等几何三角形的计算与解析几何轨迹方程相结合，考查学生对圆圆锥曲线定义的深刻领悟，避开了死记硬背标准方程的死胡同。 结论推广：一般的，若以互相垂直的两直线为轴建立坐标系，动点到 $y$ 轴的距离与到 $x$ 轴上定点 $N(p,0)$ 的距离相等，则其轨迹必为以 $y$ 轴为准线的抛物线 $y^2=2px-p^2$。若加入其他线段长度约束，皆可通过焦半径公式 $r=x$ 快速完成降维求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-21 解-抛物线与定比轨迹
• 1995-上海文-14 填-抛物线的定义与轨迹
• 2008-浙江文-22 解-抛物线轨迹定直线