1998-全国卷理-17 填-二项展开式的系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） $(x+2{)}^{10}(x^2-1)$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数为 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 多项式乘法拆解：将原式展开为两项相减的形式，即 $x^2(x+2{)}^{10}-(x+2{)}^{10}$。
2. 分析各部分的贡献项：

• 第一部分 $x^2(x+2{)}^{10}$ 中要产生 $x^{10}$，需要 $(x+2{)}^{10}$ 贡献出 $x^8$ 项。
• 第二部分 $-(x+2{)}^{10}$ 中要产生 $x^{10}$，需要 $(x+2{)}^{10}$ 贡献出 $x^{10}$ 项。

3. 应用通项公式求解：利用 $(x+2{)}^{10}$ 的二项展开式通项公式，分别求出 $x^8$ 和 $x^{10}$ 的系数，最后按符号作差。

✅【答案】

Success

$179$

✍【详细解析】

Abstract

将原表达式进行分配律展开： $(x+2{)}^{10}(x^2-1)=x^2(x+2{)}^{10}-(x+2{)}^{10}$

根据二项式定理，$(x+2{)}^{10}$ 的展开式通项公式为： $T_{r+1}=C_{10}^r\cdot x^{10-r}\cdot 2^r$

为了求出总展开式中 $x^{10}$ 的系数，需分两部分讨论：

• 第一部分：$x^2(x+2{)}^{10}$ 中 $x^{10}$ 的系数 此项等价于求 $(x+2{)}^{10}$ 中 $x^8$ 的系数。 令 $10-r=8⟹r=2$。 代入通项公式，该项系数为： $C_{10}^2\cdot 2^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}\times 4=45\times 4=180$

• 第二部分：$-(x+2{)}^{10}$ 中 $x^{10}$ 的系数 此项等价于求 $(x+2{)}^{10}$ 中 $x^{10}$ 的系数，并冠以负号。 令 $10-r=10⟹r=0$。 代入通项公式，该项系数为： $-C_{10}^0\cdot 2^0=-1\times 1=-1$

• 合成最终系数 将两部分的结果相加，得到 $x^{10}$ 的总系数为： $180+(-1)=179$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$；多项式乘法中的次数匹配。 核心方法：化整为零法。将含有多项式相乘的复杂展开式，通过乘法分配律拆解为标准二项式的组合形式。 避坑指南：

• 漏掉算式前面的负号：在计算第二部分时，容易忽略 $-(x+2{)}^{10}$ 中的负号，导致错算为 $180+1=181$。
• 通项公式中指数与组合数上下标对应错误：公式写为 $C_{10}^r{x}^{10-r}{2}^r$ 时，求 $x^8$ 对应的 $r$ 是 2，此时 2 的指数也是 2，须确保各指数与底数一一对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自教材中“二项式定理”的经典提高习题。通过复合多项式的结构，考查学生对计数原理与组合数提取的严密性。 结论推广：对于型如 $(x+a{)}^n(x^m-1)$ 的多项式展开式中 $x^n$ 的系数（其中 $m<n$），其结果恒满足组合数结构： $C_n^m\cdot a^m-C_n^0\cdot a^0=C_n^m{a}^m-1$ 本题中 $n=10,a=2,m=2$，直接代入推广结论验证：$C_{10}^2\cdot 2^2-1=45\times 4-1=179$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1994-全国卷文-22 解-对数函数与均值不等式
• 1995-上海理-13 填-二项式展开的系数比