1998-全国卷理-07 单-圆锥侧面展开图的圆心角

本题导读

本题考查圆锥的表面积与侧面展开图，以及扇形圆心角的计算。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()

A. $120^{\circ }$　　　　　　B. $150^{\circ }$　　　　　　C. $180^{\circ }$　　　　　　D. $240^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设出基本几何量：设圆锥的底面半径为 $r$，母线长（即侧面展开后扇形的半径）为 $l$。
2. 建立代数等式：写出底面积 $S_{\text{底}}=\pi r^2$，全面积 $S_{\text{全}}=\pi r^2+\pi rl$。利用全面积是底面积的 3 倍关系，解出 $l$ 与 $r$ 的比例。
3. 转化弧长与圆心角：圆锥底面的周长 $2\pi r$ 等于侧面展开图扇形的弧长。设展开扇形的圆心角为 $\theta$（弧度制），则弧长公式为 $s=l\theta =2\pi r$。将 $l$ 与 $r$ 的数量关系代入即可求出 $\theta$，再换算为角度制。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，侧面展开图扇形的圆心角为 $\alpha$。

由题意可知，圆锥的底面积为： $S_{\text{底}}=\pi r^2$ 圆锥的侧面积为： $S_{\text{侧}}=\pi rl$ 所以圆锥的全面积（表面积）为： $S_{\text{全}}=S_{\text{底}}+S_{\text{侧}}=\pi r^2+\pi rl$

已知全面积是底面积的 3 倍，得： $\pi r^2+\pi rl=3\pi r^2⟹\pi rl=2\pi r^2$ 因为 $r>0$，方程两边同除以 $\pi r$ 得： $l=2r$

圆锥底面的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即： $2\pi r=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi l$ 将 $l=2r$ 代入上式中： $2\pi r=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi (2r)⟹2\pi r=\frac{\alpha }{180^{\circ }}\cdot 2\pi r$

两边消去 $2\pi r$，得： $1=\frac{\alpha }{180^{\circ }}⟹\alpha =180^{\circ }$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$；空间立体几何图形展成平面图形后的“缝合特征”（圆锥底面圆周长 $=$ 侧面展开扇形的弧长）。 核心方法：基本量消元法。将所有的面积和角度，全部归结到基础几何结构量 $r$ 和 $l$ 上进行统一计算。 避坑指南：

• 注意概念混淆。全面积包含底面积与侧面积之和，不能将“全面积是底面积的 3 倍”等同于“侧面积是底面积的 3 倍”。
• 扇形弧长公式角度制为 $s=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi l$，注意公式中半径对应的是圆锥的母线长 $l$，而非底面半径 $r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查教材中空间几何体的三视图与表面积展开图的核心基础计算。它是后续深入考查旋转体（如圆柱、圆锥、圆台）与球体组合、切接问题（内切球、外接球）的重要前置基础。 结论推广：若圆锥的侧面积（或表面积）与底面积具有特定比例，其侧面展开图的圆心角 $\alpha$ 便是一个由比例决定的恒定值。 一般的，圆锥底面半径 $r$ 与母线长 $l$ 的比值，与侧面展开图圆心角 $\alpha$ 满足： $\frac{r}{l}=\frac{\alpha }{360^{\circ }}$ 例如本题推得 $l=2r⟹\frac{r}{l}=\frac{1}{2}$，则直接可以得出 $\alpha =360^{\circ }\times \frac{1}{2}=180^{\circ }$（半圆）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2021-新高考I卷-03 单-圆锥侧面展开
• 1986-上海文-27 填-圆锥侧面展开图
• 1986-上海理-26 填-圆锥侧面展开图