1998-全国卷理-05 单-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的概念，以及原函数与反函数的对应关系。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$()

A. $x(x\ne 0)$　　　B. $\frac{1}{x}(x\ne 0)$　　　C. $-x(x\ne 0)$　　　D. $-\frac{1}{x}(x\ne 0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解自变量：令 $y=\frac{1}{x}$，在定义域 $x\ne 0$ 的条件下，将 $x$ 用包含 $y$ 的代数式表示出来。
2. 互换变量与确定定义域：将 $x$ 与 $y$ 位置对调，同时求出原函数 $f(x)$ 的值域，该值域即为反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域。
3. 结合几何性质校验：反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象自身关于直线 $y=x$ 对称，由反函数的几何意义可直接判断其反函数是其自身。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数求法 设原函数为 $y=\frac{1}{x}$，其中定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$。 由于 $x\ne 0$，等公两边同乘 $x$ 再除以 $y$（显然当 $x\ne 0$ 时 $y\ne 0$），反解出 $x$ 得： $x=\frac{1}{y}$

原函数 $f(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0)$ 的值域为 $\{y\mid y\ne 0\}$。

将 $x$ 与 $y$ 互换，得到反函数的解析式为： $y=\frac{1}{x}$ 其定义域为原函数的值域，即 $\{x\mid x\ne 0\}$。

故 $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0)$。

方法二：几何性质法 函数 $y=f(x)$ 的图象与其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称。 反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象是中心在原点、焦点在 $y=x$ 上的双曲线，它本身就关于直线 $y=x$ 轴对称。 因此，将其关于 $y=x$ 翻折后图象保持不变，即其反函数就是它本身。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：求反函数的常规步骤，反函数定义域的确定（原函数的值域 $=$ 反函数的定义域）。 核心方法：反解法。通过 $y=f(x)⟹x=f^{-1}(y)⟹y=f^{-1}(x)$ 完成转化。 避坑指南：

• 必须注意写出反函数的定义域。虽然本题四个选项的定义域均给出了 $(x\ne 0)$，但在解答题中若漏写反函数的定义域会导致扣分。
• 勿将反函数与倒数函数、相反数函数混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自教材中“反函数”章节的经典基础结论。自函数（Self-inverse function，即反函数等于自身的函数）是函数映射理论中的重要研究对象。 结论推广：型如分式线性变换函数 $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\ne 0,c\ne 0)$，其反函数为 $f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$。 若该函数满足其反函数等于自身（$f^{-1}(x)=f(x)$），其充要条件为： $a+d=0$ 本题中 $f(x)=\frac{0\cdot x+1}{1\cdot x+0}$，满足 $a=0,d=0⟹a+d=0$，故其反函数必为自身。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-17 单-反函数的求解
• 1986-全国文-02 单-反函数的求解
• 1984-全国文-02 单-反函数图象的对称性