1998-全国卷文-23 解-斜三棱柱的角与距离

本题导读

本题考查斜三棱柱中的线面角、二面角与距离。核心在于射影定线面角、建系求二面角、垂线段定距离。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 已知斜三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧面 $A_{1}AC{C}_1$ 与底面 $ABC$ 垂直，$\angle ABC=90^{\circ }$，$BC=2$，$AC=2\sqrt{3}$，且 $A{A}_1\perp A_{1}C$，$A{A}_1=A_{1}C$.

(1) 求侧棱 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成角的大小；

(2) 求侧面 $A_{1}AB{B}_1$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的大小；

(3) 求侧棱 $B_{1}B$ 和侧面 $A_{1}AC{C}_1$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $A{A}_1\perp A_{1}C$、$A{A}_1=A_{1}C$ 求各棱长，作 $A_1$ 在 $AC$ 上的射影 $D$。
2. 由射影定线面角；建系求二面角平面角。
3. 求 $B$ 到 $AC$ 的垂线段长即所求距离。

✅【答案】

Success

(1) $45^{\circ }$；(2) $60^{\circ }$；(3) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在直角三角形 $A{A}_{1}C$ 中，$A{A}_1\perp A_{1}C$ 且 $A{A}_1=A_{1}C$，又 $AC=2\sqrt{3}$，所以 $A{A}_1=A_{1}C=\sqrt{6}$。设 $D$ 为 $A_1$ 在 $AC$ 上的垂足，则直角等腰三角形的斜边中线给出 $AD=DC=\sqrt{3}$，且 $A_{1}D=\sqrt{3}$。因为平面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，且 $A_{1}D\perp AC$，所以 $A_{1}D\perp$ 平面 $ABC$。于是 $AD$ 是侧棱 $A{A}_1$ 在底面上的射影，$\angle A_{1}AD=45^{\circ }$，即侧棱与底面所成的角为 $45^{\circ }$。 (2) 在底面内取坐标 $B=(0,0,0)$，$A=(2\sqrt{2},0,0)$，$C=(0,2,0)$。则 $D=(\sqrt{2},1,0)$，并由 $A_{1}D\perp$ 底面且 $A_{1}D=\sqrt{3}$ 得 $A_1=(\sqrt{2},1,\sqrt{3})$。设 $E=(\sqrt{2},0,0)$ 为 $D$ 在 $AB$ 上的垂足，则 $DE\perp AB$，且 $A_{1}E\perp AB$。由 $|DE|=1$、$|A_{1}E|=2$，二面角的平面角为 $\angle A_{1}ED$，满足 $\cos \angle A_{1}ED=\frac{1}{2}$，故该二面角为 $60^{\circ }$。 (3) 设 $F$ 为 $B$ 到 $AC$ 的垂足。由于 $BF\perp AC$，且 $BF$ 在底面内，从而 $BF\perp A_{1}D$；又平面 $A_{1}AC{C}_1$ 由相交直线 $AC$、$A_{1}D$ 张成，所以 $BF\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$。另外 $A_{1}A$ 在侧面 $A_{1}AC{C}_1$ 内，且 $B_{1}B\parallel A_{1}A$，所以 $B_{1}B\parallel$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$，所求距离等于 $|BF|$。在直角三角形 $ABC$ 中，$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=2\sqrt{2}$，因此 $|BF|=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 2}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：斜三棱柱的角与距离

核心方法：(1) $A{A}_1=A_{1}C=\sqrt{6}$，$A_{1}D\perp$ 底面得 $\angle A_{1}AD=45^{\circ }$；；(2) 建系 $B(0,0,0)$ 得 $D(\sqrt{2},1,0)$、$A_1(\sqrt{2},1,\sqrt{3})$，$\cos \angle A_{1}ED=\frac{1}{2}$，二面角 $60^{\circ }$；；(3) $B_{1}B\parallel A_{1}A$ 且 $A_{1}A\subset$ 侧面，距离 $=|BF|=\frac{2\sqrt{2}\cdot 2}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

避坑指南：射影定角 + 建系求二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材线面角与二面角

结论推广：一般地，射影定线面角，建系求二面角，距离用垂线段

方法推广：射影定角建系求二面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-18 解-四棱锥体积与二面角
• 2002-北京卷文-18 解-多面体二面角与体积
• 2003-河南卷-19 解-直三棱柱线面角与距离