1998-上海理-21 解-三次函数的应用

本题导读

本题考查三次函数的实际应用。核心在于由测得条件待定系数，用导数求极值，用定积分求平均。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 设某物体一天中的温度 $T$ 是时间 $t$ 的函数：$T(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d$（$a\ne 0$），其中温度的单位是 ${}^{\circ }C$，时间的单位是小时，$t=0$ 表示 $12:00$，$t$ 取正值表示 $12:00$ 以后.若测得该物体在 $8:00$ 的温度为 $8^{\circ }C$，$12:00$ 的温度为 $60^{\circ }C$，$13:00$ 的温度为 $58^{\circ }C$，且已知该物体的温度在 $8:00$ 和 $16:00$ 有相同的变化率.

(1) 写出该物体的温度 $T$ 关于时间 $t$ 的函数关系式.

(2) 该物体在 $10:00$ 到 $14:00$ 这段时间中（包括 $10:00$ 和 $14:00$），何时温度最高，并求出最高温度.

(3) 如果规定一个函数 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$（$x_1<x_2$）上函数值的平均为 $\frac{1}{x_2-x_1}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$，求该物体在 $8:00$ 到 $16:00$ 这段时间内的平均温度.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由四个条件建立方程组待定 $a,b,c,d$。
2. 求导求极值，确定最高温度时刻。
3. 按定义用定积分求平均温度。

✅【答案】

Success

(1) $T(t)=t^3-3t+60$；(2) 在 $11:00$ 和 $14:00$ 温度最高，为 $62^{\circ }C$；(3) $60^{\circ }C$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $T(0)=60$，$T(-4)=8$，$T(1)=58$，$T\prime (-4)=T\prime (4)$，所以 $d=60$，$b=0$，$a=1$，$c=-3$。因此温度函数 $T(t)=t^3-3t+60$。 (2) $T\prime (t)=3t^2-3=3(t-1)(t+1)$。当 $t\in (-2,-1)\cup (1,2)$ 时，$T\prime (t)>0$；当 $t\in (-1,1)$ 时，$T\prime (t)<0$。所以函数 $T(t)$ 在 $(-2,-1)$ 上单调递增，在 $(-1,1)$ 上单调递减，在 $(1,2)$ 上单调递增，即 $t=-1$ 是极大值点。由于 $T(-1)=T(2)=62$，所以在 $10:00$ 到 $14:00$ 这段时间中，该物体在 $11:00$ 和 $14:00$ 的温度最高，最高温度为 $62^{\circ }C$。 (3) 根据定义，平均温度为 $\frac{1}{4-(-4)}{\int }_{-4}^{4}T(t)dt=\frac{1}{8}{\int }_{-4}^4(t^3-3t+60)dt=\frac{1}{8}{\left[\frac{t^4}{4}-\frac{3t^2}{2}+60t\right]}_{-4}^4=\frac{1}{8}\cdot 480=60$。所以该物体在 $8:00$ 到 $16:00$ 这段时间内的平均温度为 $60^{\circ }C$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的应用

核心方法：(1) 由 $T(0)=60,T(-4)=8,T(1)=58,T\prime (-4)=T\prime (4)$ 定 $a=1,b=0,c=-3,d=60$，$T(t)=t^3-3t+60$；；(2) $T\prime (t)=3(t-1)(t+1)$，$t=-1$ 极大，$T(-1)=T(2)=62$，11:00 与 14:00 最高 $62^{\circ }C$；；(3) 平均 $\frac{1}{8}{\int }_{-4}^4(t^3-3t+60)dt=60$

避坑指南：待定系数 + 导数求极值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材导数的应用

结论推广：一般地，导数求极值、积分求平均

方法推广：待定系数导数求极值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-21 解-三次函数极值与单调
• 2002-大纲文-17 解-正弦函数拟合温度
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值