1998-上海理-11 填-指数函数的最值

本题导读

本题考查指数函数在闭区间上的最值，以及按底数分类讨论。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 函数 $f(x)=a^x$（$a>0$，$a\ne 1$）在 $[1,2]$ 中的最大值比最小值大 $\frac{a}{2}$，则 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 按 $a>1$ 与 $0<a<1$ 分两类讨论单调性。
2. 分别列方程求 $a$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $a>1$ 时，$f(x)=a^x$ 在 $[1,2]$ 上递增，最大值为 $a^2$、最小值为 $a$，由 $a^2-a=\frac{a}{2}$，得 $a-\frac{3}{2}=0$，即 $a=\frac{3}{2}$。当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 在 $[1,2]$ 上递减，最大值为 $a$、最小值为 $a^2$，由 $a-a^2=\frac{a}{2}$，得 $\frac{1}{2}-a=0$，即 $a=\frac{1}{2}$。因此 $a=\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的最值

核心方法：$a>1$ 时最大 $a^2$、最小 $a$，差 $a^2-a=\frac{a}{2}$ 得 $a=\frac{3}{2}$；$0<a<1$ 时最大 $a$、最小 $a^2$，差 $a-a^2=\frac{a}{2}$ 得 $a=\frac{1}{2}$，故 $a=\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$

避坑指南：分底数大于小于 1 讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材指数函数的性质

结论推广：一般地，$a^x$ 单调性随 $a$ 与 $1$ 大小分两类

方法推广：分底数讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-04 单-指数函数最值
• 2002-上海卷文-21 解-指数函数对数数列
• 2001-大纲文-06 单-指数函数的反函数