1998-上海理-04 填-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的求法，以及由原函数解析式交换变量得到反函数。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 函数 $f(x)=(x-1{)}^{\frac{1}{3}}+2$ 的反函数是 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $y=(x-1{)}^{\frac{1}{3}}+2$，解出 $x$。
2. 交换 $x,y$ 得反函数。

✅【答案】

Success

$(x-2{)}^3+1$，$x\in \mathbf{R}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=(x-1{)}^{\frac{1}{3}}+2$，则 $(x-1{)}^{\frac{1}{3}}=y-2$，$x-1=(y-2{)}^3$，$x=(y-2{)}^3+1$。交换 $x,y$ 得反函数 $f^{-1}(x)=(x-2{)}^3+1$，定义域为 $x\in \mathbf{R}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：由 $y=(x-1{)}^{\frac{1}{3}}+2$ 得 $x=(y-2{)}^3+1$，故 $f^{-1}(x)=(x-2{)}^3+1$（$x\in \mathbf{R}$）

避坑指南：交换变量解出 x

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数

结论推广：一般地，交换 $x,y$ 解出 $y$ 即得反函数

方法推广：交换变量解出 x

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-05 单-反函数的求法
• 1999-上海理-02 填-反函数的定义域
• 2004-全国卷II文-02 单-分式函数反函数