1998-上海文-18 解-复数的运算与模

本题导读

本题考查复数的运算与模。核心在于由 $z_1{z}_2$ 为实数确定 $z_2$ 的实部，再求模。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(文)） 已知复数 $z_1$ 满足 $(z_1-2)i=1+i$，复数 $z_2$ 的虚部为 $2$，且 $z_1\cdot z_2$ 是实数，求复数 $z_2$ 的模.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $(z_1-2)i=1+i$ 解出 $z_1$。
2. 设 $z_2=t+2i$，由 $z_1{z}_2$ 为实数定 $t$。
3. 求 $|z_2|$。

✅【答案】

Success

$2\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $(z_1-2)i=1+i$，得 $z_{1}i=1+3i$，所以 $z_1=\frac{1+3i}{i}=3-i$。设 $z_2=t+2i$（$t\in \mathbf{R}$），则 $z_1{z}_2=(3-i)(t+2i)=(3t+2)+(6-t)i$。因为 $z_1{z}_2\in \mathbf{R}$，所以 $6-t=0$，得 $t=6$。所以 $z_2=6+2i$，$|z_2|=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的运算与模

核心方法：由 $(z_1-2)i=1+i$ 得 $z_1=3-i$；设 $z_2=t+2i$，$z_1{z}_2=(3t+2)+(6-t)i$ 为实数需 $6-t=0$，$t=6$，故 $z_2=6+2i$，$|z_2|=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$

避坑指南：虚部为零定实部

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的运算

结论推广：一般地，复数乘积为实数 $⟺$ 虚部为零

方法推广：虚部为零定实部

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根
• 1999-上海文-19 解-复数相等与模的范围
• 2002-大纲文-02 单-复数三角形式求值