1998-上海文-10 填-等差中项与数列求和

本题导读

本题考查等差中项与等比数列，以及无穷递缩等比数列的求和。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(文)） 在数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 中，$a_1=2$，且对任意自然数 $n$，$3a_{n+1}-a_n=0$，$b_n$ 是 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 的等差中项，则 $\{b_n\}$ 的各项和是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $3a_{n+1}-a_n=0$ 得 $\{a_n\}$ 为等比数列。
2. 由 $b_n=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 得 $\{b_n\}$ 也为等比数列，求和。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $3a_{n+1}-a_n=0$，得 $a_{n+1}=\frac{1}{3}{a}_n$，所以 $\{a_n\}$ 是首项为 $2$、公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列，$a_n=2{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$。于是 $b_n=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}=\frac{a_n\left(1+\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{2}{3}{a}_n$。因此 $\{b_n\}$ 也是等比数列，首项 $b_1=\frac{2}{3}{a}_1=\frac{4}{3}$，公比 $\frac{1}{3}$，其各项和（无穷递缩等比数列）为 $\frac{b_1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4/3}{2/3}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差中项与数列求和

核心方法：由 $3a_{n+1}-a_n=0$ 得 $\{a_n\}$ 公比 $\frac{1}{3}$，$b_n=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}=\frac{2}{3}{a}_n$，故 $\{b_n\}$ 各项和 $\frac{2/3\cdot 2}{1-1/3}=2$

避坑指南：等差中项化等比求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差中项与等比数列

结论推广：一般地，等差中项 $b_n=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$

方法推广：等差中项化等比求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-18 解-等比数列对数和的极限
• 2001-上海文-06 填-等比数列极限与首项范围
• 2003-上海文-08 填-等比数列前n项和性质