1977-江西-14 填-等差等比中项

本题导读

本题考查等差中项，以及等比中项（含分母有理化）。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ 与 $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ 的等差中项是＿＿＿＿，等比中项是＿＿＿＿.

🔍【思路分析】

破题导航

两数分母有理化得 $5+2\sqrt{6}$ 与 $5-2\sqrt{6}$；等差中项取平均，等比中项取平方根（正负双值）。

✅【答案】

Success

等差中项 $5$；等比中项 $\pm 1$

✍【详细解析】

Abstract

先化简：$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=5+2\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=5-2\sqrt{6}$。 等差中项 $=\frac{(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})}{2}=5$； 等比中项 $=\pm \sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}=\pm \sqrt{25-24}=\pm 1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比中项

核心方法：中项公式

避坑指南：等差取算术平均，等比取平方根（双值）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：中项

结论推广：$5$；$\pm 1$

方法推广：等比中项双值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-10 填-等差中项与数列求和