1997-全国卷理-17 填-极坐标方程的应用

本题导读

本题考查直线的极坐标方程，以及直角坐标与极坐标的互化。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 已知直线的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则极点到该直线的距离是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

方法一：利用极坐标方程的几何意义（秒杀法）：

• 直线的极坐标标准方程通常可以写为 $\rho \sin (\theta +\alpha )=d$（或 $\rho \cos (\theta -\beta )=d$）。
• 根据极坐标系中直线的几何推导，方程右侧的常数项 $d$ 恰好代表极点 $O$ 到该直线的垂直距离。 方法二：转化为直角坐标方程计算（通法）：
• 利用两角和的正弦公式将左边的 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 展开。
• 利用极坐标与直角坐标的转换关系公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 将方程重组为一般式直线方程 $Ax+By+C=0$。
• 利用原点到直线的距离公式 $d=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 算得最终距离。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何意义法（直接读取法） 根据极坐标系中直线的几何意义，一条直线的标准极坐标方程形如： $\rho \sin (\theta +\alpha )=d$ 其中， $d$ 即为极点（原点）到该直线的垂直距离。

本题给出的直线方程为： $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 直接比对标准模型可得，极点到该直线的距离 $d$ 为： $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$

方法二：直角坐标转换法（代数验证通法） 展开极坐标方程左侧 根据两角和的正弦公式： $\rho \left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

代入特殊角数值 $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$： $\rho \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

方程两边同时除以非零常数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$： $\rho \sin \theta +\rho \cos \theta =1$

化为直角坐标系一般式方程 将直角坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 代入上式： $x+y=1⟹x+y-1=0$

计算原点（极点）到直线的距离 极点在直角坐标系中对应的坐标为 $(0,0)$。 根据点到直线的距离公式： $d=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角坐标与极坐标的互化标准公式；直线一般式方程下的距离计算。 核心方法：通过展开式引入 $\rho \cos \theta$ 与 $\rho \sin \theta$ 实现整体消参。 避坑指南：在展开 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 时，注意两角和的正弦公式中间是加号（$\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi$），避免记错公式导致正负号反转。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于极坐标与参数方程板块最标准的经典填空题，直接取材于高中数学选修板块“坐标系与参数方程”章节中关于“直线的极坐标方程”的课后基础训练习题。 结论推广： 在极坐标系中，对于任意形式为 $\rho (A\sin \theta +B\cos \theta )=C$ 的广义直线方程，可利用辅助角公式将其重组为： $\rho \sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\phi )=C⟹\rho \sin (\theta +\phi )=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 由该极坐标测地线模型直接外推可知，极点到该直线的距离恒满足固定常数： $d=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 熟记此推导结论，无需转换为直角坐标方程即可直接在考场上实现针对各种异形极坐标直线方程的秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 16.04 距离公式汇总
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积
• 2000-上海文-17 解-椭圆的弦中点坐标
• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程