1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 定义在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 的奇函数 $f(x)$ 为增函数，偶函数 $g(x)$ 在区间 $[0,+\infty )$ 的图象与 $f(x)$ 的图象重合，设 $a>b>0$，给出下列不等式：

① $f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)$； ② $f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)$； ③ $f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)$； ④ $f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)$. 其中成立的是 ()

A. ①与④　　　　　B. ②与③　　　　　C. ①与③　　　　　　D. ②与④

🔍【思路分析】

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利用奇偶性进行代数去负化简：

• 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$，可将式中的 $f(-a),f(-b)$ 转化为 $-f(a),-f(b)$。
• 因为 $g(x)$ 是偶函数，所以 $g(-x)=g(x)$，可将式中的 $g(-a),g(-b)$ 转化为 $g(a),g(b)$。 利用图象重合实现函数名统一：已知当 $x\ge 0$ 时， $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 重合，即 $g(x)=f(x)$。由于已知 $a>b>0$，说明自变量 $a$ 和 $b$ 均为正数，因此可以直接将式中所有的 $g(a),g(b)$ 替换为 $f(a),f(b)$。 变形后利用单调性进行判定：将不等式各项移项整理，转化为关于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的大小比较，根据 $f(x)$ 在整个实数集内是增函数且 $a>b>0⟹f(a)>f(b)$ 做出最终抉择。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

利用奇偶性和区间性质化简基本项 由题意， $a>b>0$，即 $a,b\in [0,+\infty )$。

1. 针对奇函数 $f(x)$： $f(-a)=-f(a),f(-b)=-f(b)$
2. 针对偶函数 $g(x)$： $g(-a)=g(a),g(-b)=g(b)$
3. 针对两函数在正半轴的重合性： 因为当 $x\ge 0$ 时 $g(x)=f(x)$，且 $a>0,b>0$，所以有： $g(a)=f(a),g(b)=f(b)$ 进而可得： $g(-a)=g(a)=f(a),g(-b)=g(b)=f(b)$

对四个不等式分别进行化简与判定

• 判定不等式 ① 与 ②： 原式左边： $f(b)-f(-a)=f(b)-[-f(a)]=f(b)+f(a)$ 原式右边： $g(a)-g(-b)=f(a)-f(b)$

  比较左边与右边，即判断 $f(b)+f(a)$ 与 $f(a)-f(b)$ 的大小： 两边同时减去 $f(a)$，等价于比较 $f(b)$ 与 $-f(b)$ 的大小。

  因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数且是奇函数，由 $f(0)=0$ 且 $b>0$，可得： $f(b)>f(0)=0⟹f(b)>0⟹-f(b)<0$ 由此可知 $f(b)>-f(b)$。 同理两边加上 $f(a)$ 可逆向推导回： $f(b)+f(a)>f(a)-f(b)$

  因此，不等式 ① 成立，不等式 ② 错误。

• 判定不等式 ③ 与 ④： 原式左边： $f(a)-f(-b)=f(a)-[-f(b)]=f(a)+f(b)$ 原式右边： $g(b)-g(-a)=f(b)-f(a)$

  比较左边与右边，即判断 $f(a)+f(b)$ 与 $f(b)-f(a)$ 的大小： 两边同时减去 $f(b)$，等价于比较 $f(a)$ 与 $-f(a)$ 的大小。

  因为 $f(x)$ 是奇函数且为增函数，由 $a>0$，可得： $f(a)>f(0)=0⟹f(a)>0⟹-f(a)<0$ 由此可知 $f(a)>-f(a)$。 同理两边加上 $f(b)$ 可逆向推导回： $f(a)+f(b)>f(b)-f(a)$

  因此，不等式 ③ 成立，不等式 ④ 错误。

综上所述，成立的不等式为 ① 与 ③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶性定义号变换公式；增函数的定义（$x_1>x_2⟹f(x_1)>f(x_2)$）；正半轴性质向负半轴的对称传递。 核心方法：“变量统一法”。通过将所有奇偶函数及负自变量全部转化为正自变量下的单一函数 $f(x)$ 表达，从而消除题目表象带来的干扰。 避坑指南：

• 移项符号错乱陷阱：在化简 $g(-b)$ 时，极易因看错偶函数性质误认为 $g(-b)=-g(b)$，导致符号计算连续出错。必须明确：偶函数自变量加负号，函数值完全不改变符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的函数抽象性质综合判断题。取材于高中数学“函数的奇偶性与单调性”这一核心主干章节的期末综合复习拉分题。 结论推广：对于任意在正半轴重合的奇函数 $f(x)$（增）与偶函数 $g(x)$，其在正半轴 $x>0$ 处的代数和恒满足：$f(x)+g(x)=2f(x)$，代数差恒满足 $f(x)-g(x)=0$。利用这一特征，对于任意正数 $a,b$，含有 $f(\pm a)$ 与 $g(\pm b)$ 的对称组合不等式，均可一键归结为探讨单个单调函数在正数点的符号正负性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 1998-上海理-12 单-周期与偶函数的判定
• 2002-上海卷文-15 单-分段奇偶函数图象