1997-全国卷理-06 单-反余弦不等式的解集

本题导读

本题考查反余弦函数的定义域，以及反余弦函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 满足 $\arccos (1-x)\ge \arccos x$ 的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$　　B. $\left[-\frac{1}{2},0\right]$　　　C. $\left[0,\frac{1}{2}\right]$　　　D. $\left[\frac{1}{2},1\right]$

🔍【思路分析】

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确立定义域限制（首要条件）：反余弦函数 $y=\arccos t$ 的自变量必须满足 $-1\le t\le 1$。因此，式中的 $1-x$ 和 $x$ 均需要满足这一闭区间限制。 利用单调性脱去函数符号：反余弦函数 $y=\arccos x$ 在定义域 $[-1,1]$ 上是严格单调递减的。这意味着，函数值越大，对应的自变量反而越小。由此可将原不等式转化为代数不等式。 求交集锁定答案：将定义域不等式组与单调性不等式联合起来求解，各区间的交集即为最终的取值范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

列出定义域约束条件 根据反余弦函数的定义，自变量必须在 $[-1,1]$ 之间： 对于 $\arccos (1-x)$，有： $-1\le 1-x\le 1⟹-2\le -x\le 0⟹0\le x\le 2\text{(1)}$ 对于 $\arccos x$，有： $-1\le x\le 1\text{(2)}$

利用单调性建立代数不等式 因为反余弦函数 $y=\arccos x$ 在其定义域 $[-1,1]$ 上是严格单调递减的。 所以由已知不等式 $\arccos (1-x)\ge \arccos x$，根据“大函数值对应小自变量”的逆向单调规律，可脱去符号得到： $1-x\le x\text{(3)}$ 移项化简 ③ 式： $1\le 2x⟹x\ge \frac{1}{2}$

求所有不等式的交集 将 ①、②、③ 三个条件在数轴上取公共部分（交集）： $\{\begin{array}{l}0\le x\le 2\\ -1\le x\le 1\\ x\ge \frac{1}{2}\end{array}⟹\frac{1}{2}\le x\le 1$

写成区间形式即为 $\left[\frac{1}{2},1\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反余弦函数的基本性质（定义域为 $[-1,1]$，值域为 $[0,\pi ]$）；减函数的性质。 核心方法：“性质约束归一法”。 避坑指南：

• 单调性反向陷阱：极易习惯性地将 $\arccos (1-x)\ge \arccos x$ 误认为 $1-x\ge x$，从而解出 $x\le \frac{1}{2}$。必须牢记反余弦函数与反余切函数在整个定义域内均为减函数，脱去符号时不等号方向必须改变。
• 定义域漏项陷阱：如果不考虑 $-1\le 1-x\le 1$ 与 $-1\le x\le 1$ 的物理限界，仅凭单调性算出的 $x\ge \frac{1}{2}$ 会延伸到正无穷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于反三角函数性质的经典能力题。取材于高中旧教材大纲选修板块（或现行微积分预备课程）中“反三角函数与简单不等式”的综合练习。 结论推广：对于任意满足形式为 $\arccos f(x)\ge \arccos g(x)$ 的广义反余弦不等式，其标准的一键转化求解结构为以下多元有界不等式组模型： $\{\begin{array}{l}-1\le f(x)\le 1\\ -1\le g(x)\le 1\\ f(x)\le g(x)\end{array}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-05 单-三角不等式区间
• 2002-新课标文-05 单-三角不等式区间
• 2005-全国卷II文-04 单-正切函数单调性定参