1997-上海理-19 解-三棱柱的线面角与面面垂直

本题导读

本题考查三棱柱中的面面垂直与线面角，核心在于线面垂直的判定与线面角的构造。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 如图，在三棱柱 $ABC-A\prime B\prime C\prime$ 中，四边形 $A\prime ABB\prime$ 是菱形，四边形 $BCC\prime B\prime$ 是矩形，$C\prime B\prime \perp AB$.

(1)求证：平面 $CA\prime B\perp$ 平面 $A\prime AB$；

(2)若 $C\prime B\prime =3$，$AB=4$，$\angle ABB\prime =60^{\circ }$，求 $AC\prime$ 与平面 $BCC\prime$ 所成角的大小（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

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1. 由 $CB\perp AB$、$CB\perp BB\prime$ 得线面垂直。
2. 作垂线构造线面角，解三角形。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $\arcsin \frac{2\sqrt{3}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为在三棱柱 $ABC-A\prime B\prime C\prime$ 中，$C\prime B\prime \parallel CB$，所以 $CB\perp AB$。又因为四边形 $BCC\prime B\prime$ 是矩形，故 $CB\perp BB\prime$，且 $AB\cap BB\prime =B$，所以 $CB\perp$ 平面 $A\prime AB$。因为 $CB\subset$ 平面 $CA\prime B$，因此平面 $CA\prime B\perp$ 平面 $A\prime AB$。 （2）由 $C\prime B\prime \perp$ 平面 $A\prime AB$，得平面 $A\prime AB\perp$ 平面 $BCC\prime$。过 $A$ 作 $AH\perp$ 平面 $BCC\prime$，$H$ 为垂足，则 $H$ 在 $BB\prime$ 上。连接 $C\prime H$，则 $\angle AC\prime H$ 为 $AC\prime$ 与平面 $BCC\prime$ 所成的角。连接 $AB\prime$，由四边形 $A\prime ABB\prime$ 是菱形且 $\angle ABB\prime =60^{\circ }$，可知 $△ABB\prime$ 为等边三角形，而 $H$ 为 $BB\prime$ 中点。又 $AB\prime =4$，$AH=2\sqrt{3}$，于是在 $\mathrm{Rt}△C\prime B\prime A$ 中，$AC\prime =\sqrt{4^2+3^2}=5$，而在 $\mathrm{Rt}△AHC\prime$ 中，$\sin \angle AC\prime H=\frac{2\sqrt{3}}{5}$，所以 $\angle AC\prime H=\arcsin \frac{2\sqrt{3}}{5}$。因此，直线 $AC\prime$ 与平面 $BCC\prime$ 所成的角是 $\arcsin \frac{2\sqrt{3}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱的线面角与面面垂直

核心方法：(1) $C\prime B\prime \parallel CB$ 且 $C\prime B\prime \perp AB$，故 $CB\perp AB$；又 $CB\perp BB\prime$，故 $CB\perp$ 面 $A\prime AB$，从而面 $CA\prime B\perp$ 面 $A\prime AB$；；(2) 过 $A$ 作 $AH\perp$ 面 $BCC\prime$，$\angle AC\prime H$ 为所求，$\sin \angle AC\prime H=\frac{2\sqrt{3}}{5}$，故角为 $\arcsin \frac{2\sqrt{3}}{5}$

避坑指南：线面垂直判定 + 线面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间几何

结论推广：一般地，线面垂直判定与线面角定义

方法推广：线面垂直判定 + 线面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 1998-全国卷文-23 解-斜三棱柱的角与距离
• 2002-上海卷文-17 解-直三棱柱线面角