1997-上海理-18 解-抛物线的实际应用

本题导读

本题考查抛物线的实际应用，通过建立坐标系待定抛物线方程，再由与 $x$ 轴交点确定半径。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 公园要建造一个圆形的喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 $OA$，$O$ 恰在水面中心，$OA=1.25$ 米.安置在柱子顶端 $A$ 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 $OA$ 的任一平面上抛物线路径如图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到 $OA$ 距离为 $1$ 米处达到距水面最大高度 $2.25$ 米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系，设抛物线顶点式。
2. 用点 $A$ 定参数，令 $y=0$ 求与 $x$ 轴交点。

✅【答案】

Success

水池半径至少要 $2.5$ 米

✍【详细解析】

Abstract

如图建立直角坐标系，则水流所呈现的抛物线方程为 $y=a(x-1{)}^2+2.25$。由题意点 $A$ 的坐标为 $(0,1.25)$，代入得 $1.25=a(0-1{)}^2+2.25$，即 $a=-1$，于是抛物线方程为 $y=-(x-1{)}^2+2.25$。令 $y=0$，得 $-(x-1{)}^2+2.25=0$，解得 $x=2.5$ 或 $x=-0.5$（不合，舍去）。答：水池半径至少要 $2.5$ 米，才能使水流不落到池外。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的实际应用

核心方法：抛物线 $y=a(x-1{)}^2+2.25$ 过 $A(0,1.25)$ 得 $a=-1$，令 $y=0$ 得 $x=2.5$，故半径至少 $2.5$ 米

避坑指南：待定系数求抛物线与 x 轴交点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二次函数应用

结论推广：一般地，实际问题由顶点式待定系数

方法推广：待定系数求抛物线与 x 轴交点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-20 解-抛物线的定义与方程
• 1999-上海理-21 解-抛物线截面的水沟应用
• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程