1997-上海理-15B 填-函数的单调区间

本题导读

本题考查函数的单调区间，以及利用导数判断单调性。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）设 $f(x)=x^2(2-x)$，则 $f(x)$ 的单调递增区间是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导。
2. 由 $f\prime (x)>0$ 求增区间。

✅【答案】

Success

$\left(0,\frac{4}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=x^2(2-x)=2x^2-x^3$，$f\prime (x)=4x-3x^2=x(4-3x)$。令 $f\prime (x)>0$ 得 $x(4-3x)>0$，解得 $0<x<\frac{4}{3}$。故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,\frac{4}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的单调区间

核心方法：$f(x)=x^2(2-x)=2x^2-x^3$，$f\prime (x)=4x-3x^2=x(4-3x)$，增区间 $0<x<\frac{4}{3}$

避坑指南：导数判单调区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材导数单调性

结论推广：一般地，$f\prime (x)>0$ 得增区间

方法推广：导数判单调区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-21 解-三次函数极值与单调
• 1997-全国卷文-13 单-奇偶函数与单调性的不等式
• 1999-全国卷文-04 单-三角函数的单调区间