1997-上海理-14A 填-正四棱锥的侧面积

本题导读

本题考查正四棱锥的侧面积，以及二面角定斜高。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）设正四棱锥底面边长为 $4\mathrm{cm}$，侧面和底面所成的二面角是 $60^{\circ }$，则这个棱锥的侧面积是\underline{\quad\quad\quad}$$\mathrm{cm^2}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由二面角求斜高。
2. 用侧面积公式。

✅【答案】

Success

$32$

✍【详细解析】

Abstract

底面中心到边的距离为 $\frac{4}{2}=2$（边心距），侧面与底面成 $60^{\circ }$ 角，故斜高 $h\prime =\frac{2}{\cos 60^{\circ }}=4$。侧面积 $=4\times \frac{1}{2}\times 4\times 4=32\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥的侧面积

核心方法：底面边长 4，斜高 $h\prime =\frac{2}{\cos 60^{\circ }}=4$，侧面积 $4\times \frac{1}{2}\times 4\times 4=32$

避坑指南：斜高乘半周长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材棱锥

结论推广：一般地，侧面积 $=\frac{1}{2}\times$ 底面周长 $\times$ 斜高

方法推广：斜高乘半周长

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-04 填-正四棱锥侧面二面角
• 2004-全国卷II文-06 单-正四棱锥侧棱与底面角
• 2003-上海文-05 填-正四棱锥异面角