1997-上海理-04 单-三角函数的曲线方程

本题导读

本题考查由方程判定圆锥曲线的类型，以及三角函数值符号的运用。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 设 $\theta \in \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$，则关于 $x,y$ 的方程 $x^2\csc \theta -y^2\sec \theta =1$ 所表示的曲线是()

A. 实轴在 $y$ 轴上的双曲线　　　　　　B. 实轴在 $x$ 轴上的双曲线 C. 长轴在 $y$ 轴上的椭圆　　　　　　　D. 长轴在 $x$ 轴上的椭圆

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断 $\csc \theta$、$\sec \theta$ 的符号。
2. 由符号判定曲线类型及轴的位置。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

当 $\theta \in \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$ 时，$\sin \theta >0$、$\cos \theta <0$，故 $\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }>0$、$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }<0$。方程化为 $\frac{x^2}{1/\csc \theta }-\frac{y^2}{1/\sec \theta }=1$，即 $\frac{x^2}{\sin \theta }+\frac{y^2}{-\cos \theta }=1$，两项系数均为正，故是椭圆。又 $\sin \theta =-\cos \theta$？不对，比较 $\sin \theta$ 与 $-\cos \theta$：当 $\theta \in (\frac{3\pi }{4},\pi )$，$-\cos \theta =|\cos \theta |\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$，$\sin \theta \in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$，且 $\sin \theta <-\cos \theta$（因 $\theta >\frac{3\pi }{4}$ 时 $\sin \theta <\frac{\sqrt{2}}{2}<|\cos \theta |$ 当 $\theta$ 接近 $\pi$），故 $y^2$ 的分母较大，长轴在 $y$ 轴上，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的曲线方程

核心方法：$\theta \in (\frac{3\pi }{4},\pi )$，$\csc \theta >0$，$\sec \theta <0$，故 $\frac{x^2}{\sin \theta }+\frac{y^2}{-\cos \theta }...$ 整理 $x^2\csc \theta -y^2\sec \theta =1$，因 $\csc \theta >0$、$-\sec \theta >0$，两系数同号，为椭圆且长轴在 $y$ 轴，选 C

避坑指南：由系数符号判曲线类型

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥曲线

结论推广：一般地，由二次项系数符号判曲线类型

方法推广：由系数符号判曲线类型

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程
• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标
• 1999-全国卷文-15 填-椭圆的通径与离心率