1997-上海文-21 解-直线与抛物线的位置关系

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系，核心在于判别式判交点、韦达定理定关系及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） 如图，抛物线方程为 $y^2=p(x+1)$（$p>0$），直线 $x+y=m$ 与 $x$ 轴的交点在抛物线的准线的右边.

(1)求证：直线与抛物线总有两个交点；

(2)设直线与抛物线的交点为 $Q,R$，$OQ\perp OR$，求 $p$ 关于 $m$ 的函数 $f(m)$ 的表达式；

(3)在(2)的条件下，若抛物线焦点 $F$ 到直线 $x+y=m$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，求此直线的方程.

🔍【思路分析】

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1. 由准线与交点位置得 $4m+p+4>0$，用判别式证。
2. 用韦达定理与 $OQ\perp OR$ 得 $p=f(m)$。
3. 由焦点到直线的距离定 $m$，再求直线方程。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $f(m)=\frac{m^2}{m+2}$（$m>-2,m\ne 0$）

(3) $3x+3y+4=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）抛物线 $y^2=p(x+1)$ 的准线方程是 $x=-1-\frac{p}{4}$，直线 $x+y=m$ 与 $x$ 轴的交点为 $(m,0)$，则 $m>-1-\frac{p}{4}$，即 $4m+p+4>0$。由方程组 $\{\begin{array}{l}{y}^2=p(x+1)\\ x+y=m\end{array}$ 得 $x^2-(2m+p)x+(m^2-p)=0$，判别式 $\Delta =(2m+p{)}^2-4(m^2-p)=p(4m+p+4)>0$。因此直线与抛物线总有两个交点。 （2）设 $Q(x_1,y_1),R(x_2,y_2)$，则 $x_1,x_2$ 是 $x^2-(2m+p)x+m^2-p=0$ 的两根，$x_1+x_2=2m+p$，$x_1{x}_2=m^2-p$。由 $OQ\perp OR$ 得 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，又 $y_1=-x_1+m$，$y_2=-x_2+m$，于是 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=2x_1{x}_2-m(x_1+x_2)+m^2=0$，即 $2(m^2-p)-m(2m+p)+m^2=0$，解得 $p=\frac{m^2}{m+2}$，由 $p>0$ 得 $m>-2,m\ne 0$。 （3）抛物线焦点 $F$ 坐标为 $\left(-1+\frac{p}{4},0\right)$。由点到直线的距离公式，$\frac{\left|-1+\frac{p}{4}-m\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $|p-4m-4|=4$。代入 $p=\frac{m^2}{m+2}$，得 $\left|\frac{3m^2+12m+8}{m+2}\right|=4$，解得 $m=0$、$-\frac{8}{3}$、$-4$、$-\frac{4}{3}$。又 $m>-2$ 且 $m\ne 0$，故 $m=-\frac{4}{3}$，所求直线方程为 $x+y=-\frac{4}{3}$，即 $3x+3y+4=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与抛物线的位置关系

核心方法：(1) 判别式 $\Delta =p(4m+p+4)>0$，故总有两交点；；(2) $OQ\perp OR$ 得 $p=\frac{m^2}{m+2}$；；(3) 焦点 $F(-1+\frac{p}{4},0)$ 到直线距离 $\frac{|p-4m-4|}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $|3m^2+12m+8|=4|m+2|$，解得 $m=-\frac{4}{3}$，直线 $3x+3y+4=0$

避坑指南：判别式 + 韦达 + 距离

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与圆锥曲线

结论推广：一般地，判别式判交点，点到直线距离公式

方法推广：判别式 + 韦达 + 距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-22 解-抛物线的定义与方程
• 1998-上海理-22 解-数列与抛物线的综合
• 1997-全国卷文-17 填-直线与抛物线交点的中点