1997-上海文-20A 解-复数的模与取值范围

本题导读

本题考查复数与实系数方程的关系，核心在于实系数方程的虚根共轭成对及复数的模。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） （选做题，20A 与 20B 二选一）设虚数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1^2=z_2$.

(1)若 $z_1,z_2$ 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 $z_1,z_2$；

(2)若 $z_1=1+mi$（$i$ 为虚数单位），$|z_1|⩽\sqrt{2}$，复数 $\omega =z_2+3$，求 $|\omega |$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设共轭复根 $z_1=a+bi,z_2=a-bi$，代入 $z_1^2=z_2$ 解 $a,b$。
2. 由 $z_1=1+mi$ 求 $z_2$、$\omega$，用 $|z{|}^2=z\bar{z}$ 求 $|\omega |$ 的范围。

✅【答案】

Success

(1) $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 或 $z_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

(2) $[\sqrt{13},4)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $z_1=a+bi$，$z_2=a-bi$（$a,b\in \mathbf{R}$ 且 $b\ne 0$）。由 $z_1^2=z_2$ 得 $a^2-b^2+2abi=a-bi$，于是 $\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=a\\ 2ab=-b\end{array}$。由 $b\ne 0$ 得 $a=-\frac{1}{2}$，代回得 $b^2=\frac{3}{4}$，即 $b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。所以 $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，或 $z_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。 （2）由 $z_1=1+mi$ 且 $|z_1|⩽\sqrt{2}$，得 $1+m^2⩽2$，即 $m^2⩽1$。又 $z_2=z_1^2=(1-m^2)+2mi$，所以 $\omega =z_2+3=(4-m^2)+2mi$。于是 $|\omega {|}^2=(4-m^2{)}^2+4m^2=(m^2-2{)}^2+12$。由 $0⩽m^2⩽1$，得 $13⩽(m^2-2{)}^2+12⩽16$，故 $\sqrt{13}⩽|\omega |⩽4$。当 $m^2=0$ 时 $|\omega |=4$ 但此时 $z_1=1$ 为实数，与虚数不符（$m\ne 0$），故 $|\omega |<4$。因此 $|\omega |$ 的取值范围为 $[\sqrt{13},4)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与取值范围

核心方法：(1) 设 $z_1=a+bi,z_2=a-bi$，由 $z_1^2=z_2$ 得 $a=-\frac{1}{2},b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$；；(2) $z_2=(1-m^2)+2mi$，$\omega =z_2+3=(4-m^2)+2mi$，$|\omega {|}^2=(m^2-2{)}^2+12$，由 $0<m^2⩽1$ 得 $\sqrt{13}⩽|\omega |<4$

避坑指南：共轭复根设元 + 模的范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数

结论推广：一般地，$|z{|}^2=z\bar{z}$ 求模的范围

方法推广：共轭复根设元 + 模的范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1999-上海理-19 解-复数辐角主值的范围
• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值