1997-上海文-04 单-双曲线的方程

本题导读

本题考查由方程判定圆锥曲线的类型，以及系数符号的运用。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） 设 $k>1$，则关于 $x,y$ 的方程 $(1-k)x^2+y^2=k^2-1$ 所表示的曲线是()

A. 长轴在 $y$ 轴上的椭圆　　　　　　　B. 长轴在 $x$ 轴上的椭圆 C. 实轴在 $y$ 轴上的双曲线　　　　　　D. 实轴在 $x$ 轴上的双曲线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $k>1$ 判各系数符号。
2. 化标准式判曲线类型及轴的位置。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因 $k>1$，故 $1-k<0$，$k^2-1>0$。方程化为 $\frac{y^2}{k^2-1}-\frac{x^2}{k^2-1/(k-1)}=1$，即 $\frac{y^2}{k^2-1}-\frac{x^2}{(k+1)}=1$。由于 $x^2$ 项系数为负、$y^2$ 项系数为正，故是双曲线，且实轴在 $y$ 轴上，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的方程

核心方法：$k>1$ 时 $(1-k)x^2+y^2=k^2-1$ 化为 $\frac{y^2}{k^2-1}-\frac{x^2}{k^2-1/(k-1)}=1$，实轴在 $y$ 轴，选 C

避坑指南：由系数符号判曲线类型

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥曲线

结论推广：一般地，$k>1$ 时 $x^2,y^2$ 系数异号得双曲线

方法推广：由系数符号判曲线类型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程
• 1998-全国卷文-12 单-椭圆焦点与中点坐标
• 1999-全国卷文-15 填-椭圆的通径与离心率