1996-全国卷理-20 解-含参对数不等式

本题导读

本题考查对数不等式的解法、对数函数的单调性与定义域。核心在于分类讨论法、代数化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 解不等式: ${\log }_a\left(1-\frac{1}{x}\right)>1$.

🔍【思路分析】

破题导航

确定底数的法定范围：对数底数 $a$ 必须满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$。 对底数 $a$ 进行分类讨论：

• 当 $a>1$ 时，对数函数 $y={\log }_{a}t$ 单调递增，不等式等价于真数大于 $a$。
• 当 $0<a<1$ 时，对数函数 $y={\log }_{a}t$ 单调递减，不等式等价于真数小于 $a$。 结合真数大于 0 的定义域约束条件：无论是哪种情况，均须确保真数 $1-\frac{1}{x}>0$ 恒成立。 分别求解分式不等式组：解出各分类情况下的交集，最后综合并列输出解集。

✅【答案】

Success

当 $a>1$ 时，$\frac{1}{1-a}<x<0$；当 $0<a<1$ 时，$1<x<\frac{1}{1-a}$

✍【详细解析】

Abstract

根据对数函数的性质，底数 $a$ 须满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$。原不等式可变形为 ${\log }_a\left(1-\frac{1}{x}\right)>{\log }_{a}a$。

以下分两种情况讨论：

情况一：当 $a>1$ 时

对数函数 $y={\log }_{a}t$ 在定义域内单调递增。原不等式等价于： $\{\begin{array}{ll}1-\frac{1}{x}>a& \text{(1)}\\ 1-\frac{1}{x}>0& \text{(2)}\end{array}$ 因为 $a>1$，所以当 ① 式满足时，② 式自然满足。只需解不等式 ①： $1-a-\frac{1}{x}>0⟹\frac{(1-a)x-1}{x}>0$ 两边同乘以 $-1$，注意不等号方向改变（此时 $a-1>0$）： $\frac{(a-1)x+1}{x}<0$ 该分式不等式等价于二次不等式 $x[(a-1)x+1]<0$。 由于 $a-1>0$，两根分别为 $0$ 和 $-\frac{1}{a-1}$，且 $-\frac{1}{a-1}<0$。 解得： $-\frac{1}{a-1}<x<0$

情况二：当 $0<a<1$ 时

对数函数 $y={\log }_{a}t$ 在定义域内单调递减。原不等式等价于： $\{\begin{array}{ll}1-\frac{1}{x}<a& \text{(3)}\\ 1-\frac{1}{x}>0& \text{(4)}\end{array}$

1. 解不等式 ③： $1-a-\frac{1}{x}<0⟹\frac{(1-a)x-1}{x}<0$ 由于 $0<a<1$，可得 $1-a>0$。该分式不等式两根为 $0$ 和 $\frac{1}{1-a}$。 解得： $0<x<\frac{1}{1-a}$

2. 解不等式 ④（真数有意义）： $\frac{x-1}{x}>0⟹x<0\text{或}x>1$

3. 求 ③ 和 ④ 的交集： 因为 $0<a<1⟹0<1-a<1⟹\frac{1}{1-a}>1$。 数轴上各边界点顺序为 $0<1<\frac{1}{1-a}$。 取交集后解得： $1<x<\frac{1}{1-a}$

结论

综上所述，原不等式的解集为：

• 当 $a>1$ 时， $x$ 的取值范围是 $\left(-\frac{1}{a-1},0\right)$；
• 当 $0<a<1$ 时， $x$ 的取值范围是 $\left(1,\frac{1}{1-a}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的单调性分类边界；分式不等式的标准解法；真数大于零约束。 核心方法：“分类讨论与数轴交集法”。 避坑指南：

• 真数定义域遗漏陷阱：在 $0<a<1$ 的情况下，极易漏掉 $1-\frac{1}{x}>0$ 的有界限制，导致错误解出 $(0,\frac{1}{1-a})$。
• 分式去分母陷阱：绝对不能直接两边同乘以 $x$，因为 $x$ 的正负未定，直接去分母会导致不等号方向无法确定。必须移项通分化为标准分式不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的含参函数解答题，直接考查对数函数的核心代数控制力，取材于教材中“对数不等式及其解法”的章末综合练习。 结论推广： 对于更广义的含参对数分式模型 ${\log }_a\left(1-\frac{k}{x}\right)>1$（$k>0$）：

• 当 $a>1$ 时，解集为 $\left(-\frac{k}{a-1},0\right)$；
• 当 $0<a<1$ 时，解集为 $\left(k,\frac{k}{1-a}\right)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-20 解-含参二次不等式的解法
• 2000-大纲文-20 解-含参无理不等式的解集
• 1999-上海文-17 解-集合包含与分式不等式