本题导读
本题考查双曲线的几何性质（离心率、基本量关系），以及点到直线的距离公式。
📌【题干】
Question
（1996年全国卷(理)） 设双曲线 的半焦距为 ，直线 过 , 两点，已知原点到直线 的距离为 ，则双曲线的离心率为 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
写出直线 的方程：直线过两截距点 和 ，可直接利用直线的截距式方程建立 ，并转化为一般式。 利用点到直线距离公式：根据原点 到直线 的距离公式，建立关于 的等式关系。 几何等价转化（面积法更佳）：直角三角形中，斜边上的高与其两条直角边满足 ，由于双曲线满足 ，分母可直接转化为 。 齐次化求离心率 ：利用双曲线基本量关系将 替换为 ，构造关于 和 的二次齐次方程，两边同除以 转化为关于离心率 的方程求解。
✅【答案】
Success
A
✍【详细解析】
Abstract
利用直角三角形面积性质建立基本量方程 设直线 与 轴、 轴分别交于 和 。 在 Rt 中，两条直角边分别为 。 由勾股定理，斜边长为：
根据双曲线的几何性质，半焦距 满足 ，因此：
原点 到直线 的距离 即为直角三角形斜边 上的高。利用面积法（）可得：
代入已知距离条件化简 已知原点到直线 的距离为 ，代入上式：
两边同时平方以消去根号：
齐次化求解离心率 将双曲线关系式 代入上式中，消去变量 ：
由于离心率 ，我们在方程两边同时除以 ：
代入 ，得到关于 的一元二次方程：
两边同乘以 16 整理得：
利用十字相乘法因式分解：
解得：
结合已知边界条件进行检验 题干给定约束条件为 。 根据双曲线基本性质，两边同除以 可得： 因为 ，所以：
- 当 时，，不符合要求，舍去；
- 当 时，，符合要求。
因为双曲线离心率 ，由 解得：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：直角三角形面积公式与双曲线特征量 的交汇；齐次方程向离心率 的转化与消参。 核心方法：“面积射影代换法”。在涉及坐标轴截距直线时，直接利用三角形面积性质 代替传统点到直线距离公式 ，能显著精简解析几何一阶运算的步骤。 避坑指南：
- 双重复根陷阱：本题极易在解出两个 值后由于忽略条件 导致无法做出唯一排除。必须时刻警惕题干中给出的非常规不等式约束，将其转化为 是本题拉开分差的关键所在。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于圆锥曲线板块的综合性质能力题，属于经典的高考中档题型，重点考查代数运算的有界性格局与条件约束检验。 结论推广： 对于椭圆或双曲线中过顶点 与共轭轴端点 的直线，原点到其距离公式均满足 （椭圆中斜边为 高为 ，双曲线中斜边为 高为 ）。 若定义原点到该截距直线的距离为 ，在双曲线模型下：
- 其对应的离心率通解方程为 ；
- 只要给定 与 的具体比例关系，即可通过边界范围对两个代数根进行唯一性剔除。这一齐次消参技巧在所有的圆锥曲线离心率最值、范围大题中属于底层的核心通法。
🔗【关联脉络】
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