1996-全国卷理-11 单-极坐标与直角坐标的互化

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及椭圆的极坐标统一方程。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 椭圆的极坐标方程为 $\rho =\frac{3}{2-\cos \theta }$，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 ()

A. $(3,0),(1,\pi )$　　　　　　　　　　B. $\left(\sqrt{3},\frac{\pi }{2}\right),\left(\sqrt{3},\frac{3\pi }{2}\right)$ C. $\left(2,\frac{\pi }{3}\right),\left(2,\frac{5\pi }{3}\right)$　　　　　　　　　D. $\left(\sqrt{7},\arctan \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\left(\sqrt{7},2\pi -\arctan \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

化简极坐标方程：通过去分母和代数变形，将极坐标方程转化为直角坐标方程。 求出椭圆基本量：将得到的直角坐标方程化为标准方程 $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求出中心坐标以及长半轴 $a$、短半轴 $b$、半焦距 $c$ 的值。 定位短轴顶点：在直角坐标系中，短轴顶点位于中心的正上方和正下方，其对应的直角坐标极易写出。 逆向转回极坐标：利用极坐标转换公式 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\tan \theta =\frac{y}{x}$，将短轴顶点的直角坐标还原为极坐标 $(\rho ,\theta )$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

将极坐标方程化为直角坐标方程 已知椭圆极坐标方程为： $\rho =\frac{3}{2-\cos \theta }$ 去分母，两边同乘以 $2-\cos \theta$： $2\rho -\rho \cos \theta =3$ 将极坐标转换公式 $x=\rho \cos \theta$ 和 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 代入上式中： $2\sqrt{x^2+y^2}-x=3⟹2\sqrt{x^2+y^2}=x+3$ 两边同时平方： $4(x^2+y^2)=(x+3{)}^2$ $4x^2+4y^2=x^2+6x+9$ 移项合并同类项，得： $3x^2-6x+4y^2=9$

配方化为直角坐标标准方程并求几何特征量 对 $x$ 项进行配方： $3(x^2-2x+1)+4y^2=9+3$ $3(x-1{)}^2+4y^2=12$ 方程两边同除以 12，化为标准方程： $\frac{(x-1{)}^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 由此可知：

• 椭圆的中心坐标为 $O^{\prime }(1,0)$；
• 长轴平行于 $x$ 轴，其中 $a^2=4⟹a=2$；
• 短轴平行于 $y$ 轴，其中 $b^2=3⟹b=\sqrt{3}$。

确定短轴顶点的直角坐标与极坐标 在直角坐标系中，短轴顶点的横坐标与中心相同（$x=1$），纵坐标在中心的基础上分别向上和向下平移 $b=\sqrt{3}$ 个单位。 因此，短轴上的两个顶点的直角坐标为： $P_1(1,\sqrt{3}),P_2(1,-\sqrt{3})$

现在将这两个点的直角坐标分别转换为极坐标 $(\rho ,\theta )$：

1. 计算极径 $\rho$： 对于 $P_1$ 和 $P_2$，它们的极径相同： $\rho =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+(\pm \sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$ 由此可直接排除 A、B、D。

2. 计算极角 $\theta$：

   • 对于第一象限的点 $P_1(1,\sqrt{3})$： $\tan {\theta }_1=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}⟹{\theta }_1=\frac{\pi }{3}$ 对应极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$。
   • 对于第四象限的点 $P_2(1,-\sqrt{3})$： $\tan {\theta }_2=\frac{y}{x}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}⟹{\theta }_2=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$ 对应极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$。

综上，短轴上两个顶点的极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right),\left(2,\frac{5\pi }{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥曲线极直坐标互化；平移椭圆的短轴顶点几何意义；直角坐标向极坐标的逆向映射。 核心方法：“代数归一法”。极坐标系下的复杂几何特征（如短轴顶点）很难直接通过角度观察出来，将其先全面归一化为直角坐标系处理，求出确切坐标后再转回极坐标，是最稳妥、最机械化、最不易出错的通法。 避坑指南：

• 极角位置误判陷阱：极易错选 B。许多学生误认为“短轴顶点”必然在垂直方向上，从而想当然地认为极角 $\theta$ 只能是 $\frac{\pi }{2}$ 和 $\frac{3\pi }{2}$。但这仅仅适用于中心在原点的椭圆。本题椭圆中心发生了平移（中心为 $(1,0)$），所以从极点（原点）望向这两个短轴顶点，其视线角度并不是垂直的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于圆锥曲线与极坐标方程结合的高端经典题型。取材于大学解析几何及高中大纲选修板块中“圆锥曲线统一极坐标方程”的变形应用，旨在考查多级坐标系融合的严密推演素养。 结论推广： 在极坐标系中，以左焦点（或右焦点）为极点，极轴沿主轴方向的圆锥曲线统一方程为： $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$ （其中 $e$ 为离心率， $p$ 为焦点到准线的距离）。 本题深度秒杀模型：将本题方程变形为标准统一形式： $\rho =\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2}\cos \theta }$ 由此一眼判定：

• 离心率 $e=\frac{1}{2}$；
• 参数 $ep=\frac{3}{2}⟹\frac{b^2}{a}=\frac{3}{2}$。 因为 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2c$，代入 $b^2=a^2-c^2=3c^2$。 从而 $\frac{3c^2}{2c}=\frac{3}{2}⟹c=1$。 进而直接心算出 $a=2,b=\sqrt{3}$，中心为 $(1,0)$。熟练掌握这一核心圆锥曲线统一极坐标公式，可以在完全不进行任何平方去根式化简的前提下，直接秒杀椭圆的所有核心几何要素。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷理-17 填-极坐标方程的应用
• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程
• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标